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2018考研数学微积分强化

内容安排：
（1）极限
（2）一元微分学（3）一元积分学
（4）多元微分学（5）二重积分
（6）微分方程（7）无穷级数
要求：
①记笔记
②背笔记（结构、脉络、例题反复记）
8月31之前，熟稔于心
第一讲极限
核心考点
（1）定义 4′（试卷头一题）
（2）性质 4′
（3）计算 10′（大题考点）重点
（4）应用 4′ （连续与间断）
一、极限定义与性质
1.函数极限
4句话
2.数列极限
4句话
3.唯一性
考点：左右极限
4.局部有界性
定理
5.局部保号性
定理（脱帽法）（前后都没有等号）
推论（记住）（逆否命题）（都有等号）
［例题1］
［分析］学会“数学翻译”
递推法（高阶?低阶）
数学归纳法（低阶?高阶）（验、设、证）
［注］正确递推应保证"n＞N"
［例题2］讨论函数在定义域内的有界性
［分析］有三个方法：
1°理论法——在闭区间上连续，则在闭区间上有界；
2°计算法——开区间连续＋两端点（三步走）；
3°四则运算法——若函数极限不存在?拆！
有界加减有界?有界
有界×有界?有界
［注］均为有限个
［例题3］㏑2≈0.69
给出类似定义式的式子来判断一点极值，想到用保号性（脱帽法）
二、函数极限的计算
综述：
（1）化简先行（等价替换，恒等变形+-×÷，抓大头找带头大哥）
x趋向于0，
与x的一次等价的有8个
与二次等价的有1个
与三次等价的有1个
与四次等价的有1个
（2）判别类型（7种未定式）
（3）使用工具（洛必达，泰勒）
洛必达适用于两种情况（存在、无穷）
x趋向于0时，熟记9个泰勒展开式
（4）注意事项（总结错题）
［例题1］找带头大哥
幂指函数一定要化为指函数
［注］一个找带头大哥的例题
［例题2］
分子次数低于分母次数的式子出现时，可用倒代换x＝1/t
［例题3］
［注］对于0.∞，设置分母有原则，简单因式才下放
简单：幂、指
复杂：对、反三角、根号等
［例题4］∞-∞，有分母则通分！
［例题5］∞-∞，没有分母，创造分母再通分（倒代换，令x=1/t）
［例题6］100％
以下为综合体举例：（去年的趋势）
特征：
①未知参数?分类讨论
②变限积分定义函数、泰勒公式
［例题7］［例题8］见笔记
［注］
【2018考研数学微积分强化】含参的0/0型，考虑泰勒公式
泰勒公式的展开原则有二：
①上下同阶，针对A/B型
②幂次最低，针对A-B型
［定理］见笔记

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