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高中数学之纲（依葫芦画瓢学习「函数思想」）

【高中数学之纲（依葫芦画瓢学习「函数思想」）】标签： 高中数学 高考真题 解三角形 函数思想
「函数思想」，是高中数学基本思想之一，用途广泛。然而，学生在学习过程中，常有这种感受：书上的例题能看懂；但自己解题，就是“没有思路”。
本文尝试用一种简单而古老的方法克服这一难题：让学生从具体问题入手，从模仿开始，先模仿再创新，从特殊到一般，掌握这一重要思想及工具。
现以一道高考真题为例，说明函数思想的应用方法。
2013年理科数学全国卷B 题17（本题满分12分） 的内角的对边分别为，已知
（I）求 ；
（II）若 ，求的面积最大值.
【解答第1问】
先解决第1问。这是一个比较基础性的问题。由射影公式可知：
结合本题已知条件可得：
所以，
【第2问的分析与解答】
相对第1问而言，第2问的难度要高一个层次。很多学生的苦恼是“没有思路”。我们现在用“自问自答”的方式来演示：如何寻找解题思路？以下用Q代表问题，用A代表回答。
: 哪些量是已知的，不变的？
: 三角形的底边是已知的不变量（）；三角形的顶角也是已知的不变量（）. 由于 不变，所以,也是已知的不变量。
根据正弦定理，可以求出三角形的外接圆半径。所以，外接圆半径也是已知的不变量。
: 哪些量在变化？待求的是哪个量？
: 三角形的两个内角（）在变化中，这两个角的对边也在变化中。三角形的面积和周长也在变化中。本题所求是面积的变化范围。
: 变化的量之间存在什么关系？变化量与不变量之间存在什么关系？变化的范围如何？
: 三角形的两个内角（）在变化中，但这两个角之和却是一个已知的不变量：，而它们的差却是在变化中，显然，两个角的取值范围是：. 从另一方面考察，三角形的两条边（）也在变化中，在变化中，三条边满足以下关系：.
三角形的面积（和周长）随着以上这几个量的改变而改变。关于三角形的面积，我们有以下公式：




结合前面关于变化量与不变量的分析，可以从两个方向寻求突破：
（1）三角形的面积随着之值的变化；所以，从到面积之间存在映射关系，面积是的函数。这种关系可以记作：，或者：.
（2）三角形的面积随着两内角的正弦的乘积的变化而变化；所以，从到面积存在映射关系，面积是 的函数. 令这种关系可记作： ，或者：.
显然，如果落实了或者的变化范围，面积的变化范围也就知道了。这是下一步需要解决的问题。对这两个变化量的探求，构成了两条解决思路。
: （思路一） 的值随哪些量改变？有哪些定理可以把这个变化量和不变量关联起来？函数关系是什么样的？
: 应用积化和差公式可以实现变化量与不变量的沟通：
由前面的分析可知：，是已知的不变量。假如我们引入一个新的记号：, 则存在以下映射关系：

也就是说：三角形面积是的函数。这个函数的解析式为：

代入具体数值，可化为：
，函数的定义域为：
因此，当 时，函数取最大值： .
: （思路二） 的值随哪些量改变？有哪些定理可以把这个变化量和不变量关联起来？函数关系是什么样的？
: 注意余弦定理的表达式：，这个公式中出现了 ，而和是已知的不变量。所以，这个公式提供了一个解决问题的方向。
关于与这两边的平方和，有两个完全平方公式：


该用哪一个呢？可以从另外一个角度考虑。根据前面的分析。三角形的外接圆半径是已知的不变量。而圆周角具有这样的性质：同一段圆弧所对的圆周角等于圆心角的一半。所以，在两点固定不变的前提下，在外接圆上任取一点，所得三角形均满足题设条件。其中，面积最大的是一个等腰三角形（与两边相等时，三角形的高达到最大值）。
再回到代数的角度，对余弦公式作变形：



在以上公式中，除了 ，其它都是不变的已知量。所以，面积的大小取决于 的值，也就是：
这是一个函数关系。若令 ，则函数解析式为：

代入具体值并化简可得：

当时，面积取最大值：
【提炼与提高】
以上，我们用“自问自答”的形式，步步为营，回答了这个问题：解题思路从哪里来？这种自问自答的方式具有通用性，可以用于解决类似的问题。读者不妨自己尝试。具体说来就是：把本题中的几个Q抄下来，遇到类似的问题，就用“自问自答”的方式找思路。
本题我们提供了两种解决思路。显然，思路一显得更简洁一些；思路二则略显复杂。但从锻炼思维的角度考虑，思路二也是大有益处的。尤其对于刚进入高中的学生来说，需要完成一个思维习惯的转变：看到一个公式，不要着急把具体的数值代入，也不要纠结于具体值是3还是2，而要思考这样的问题：这是变量还是不变量？是已知量还是未知量？如果是变量，它与哪些量存在关联？
本题的解答还有一个特色是：数形结合，先猜后证。从平面几何的角度，我们其实可以得出结论：两条边相等时，三角形面积达到最大值。用三角函数推导出的结论与平面几何完全一致。这样就可以放心大胆地作答了。假如用三角函数推导出的结论与平面几何不一致，就马上检查。
有很多学生在归结丢分原因时，都会遇到一个“顽疾”：粗心大意。其实，在考试状态下，人人都会犯错误。高手之所以能够避免错误，并不是因为他的推导从不出错，而是因为：他能够从多个角度看问题，用巧妙的方法进行验算。

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