火树科普博弈论-扑克中的数学火树科普博弈论-扑克中的数学

复习下上次学习的内容。
在混合策略的纳什均衡下，对手无法通过自己的行为增加收益，即无论对手选择策略A还是策略B都无法增加自己的收益。因此，对手选择A策略的收益等于B策略的收益，这个等式就可以用来进行纳什均衡的计算。
今天说火树博弈论最后一帕-扑克游戏

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The Mathematics of Poker 拓展阅读《The Mathematics of Poker》本书算是德州扑克划时代的一本书，是把德州扑克的游戏行为用数学方式进行了解释。
先看下游戏规则：

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规则介绍： Pot 2，指底池里已经有2个金币。先手有选择下注的权利，要么下注一个金币（bet），或者放弃（check）。后手可以跟注一个金币（call），或者弃牌（fold）。Y为先手，X为后手。游戏一共只有3张牌，分别是A，K ，Q。A最大，Q最小。两个玩家，你拿一张我拿一张比大小。获胜的人就拿走所有的钱。

去牌效应（card removal）
游戏中只有3张牌，两个人不存在相同的牌。就是说我拿了A，你就肯定拿不到A了。虽然是废话，但是很重要！特此说明！

收益矩阵如下：

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分析： Y是先手当拿到A时一定会下注（Bet），后手X拿到K如果跟注（call），那Y就赢了3个金币。如果X的K弃牌（fold），那Y就赢2个金币。
当Y拿到Q时假如也下注（Bet），后手X手里的如果拿到A一定会跟注，那么A就损失1个金币。如果X拿到的是K，有可能跟注（call），那么A也损失1个金币，如果弃牌（fold），那么A就赢得2个金币。

问题来了：
为什么没有显示X拿到Q的情况呢？因为一定是会弃牌嘛！最小的扔掉！
为什么没有显示Y拿到K的情况呢？因为先手Y拿到K一定弃牌（check）。对方要么A，赢我一个金币，要么Q，直接弃牌。结果已知。

好了，那么按照这个收益矩阵，如果Y在拿到的A的时候一直下注会有什么结果呢？结果就是X就会知道Y下注一定是拿到了A，X就会把K全部扔掉，让损失从3个金币减少到2个金币。Y就不能获得最大收益。
所以，Y的策略就是让Q参与到下注里，这样，当X再扔K的时候，Y就从损失1个金币变成了赢得2个金币。这时候X发现Q也下注了，那就会继续跟注，Y就又会损失1个金币。然后Y就只下注A，X又会把K扔掉，如此循环往复下去。此时，就需要用混合策略让两个人达到一个纳什均衡。
如果纯策略没有一个纳什均衡，那就在混合策略里面。游戏中需要解决的问题是：对于先手Y，Q需要用多少频率用来下注，后手X，K需要用多少频率来跟注。换句话说，Q的下注频率要使得K弃牌和跟注的收益相等。K的跟注频率也要使Q下注和弃牌的收益相等。 X的K计算频率如下：（计算过程省略100字）

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计算结果是K的跟注频率=1/3时，达到纳什均衡。
当K跟注>1/3，Y用Q下注的收益就<0, 所有的Q都弃牌（check），达到最大收益。
当K跟注<1/3，Y用Q下注的收益就>0, 所有的Q都会下注（bet），达到最大收益。
对X来说，保证K跟注的频率在1/3，Y用Q下不下注的收益都是0。
同理可得Y的Q频率如下：（计算过程省略100字）