矩阵分析学习笔记（六）-若当(Jordan)标准形
阵
元素为的多项式的矩阵矩阵称为阵，记为。
例如，数字方阵的特征矩阵就是一个阵；一个阵中所含多项式的最高次幂称为阵的次数。如果的次数为，则可表示为
其中，为数字矩阵，且
等价标准形
任意一个秩为的阶阵都等价于一个分块阵，即
其中，是首项系数为1的多项式，且，并称该分块阵为的等价标准形，记作。
行列式因子
设阵的秩为，显然中任一阶子式也是的多项式。的所有阶子式的首项系数为1的最大公因式称为的第阶行列式因子，记作。
不变因子
设为阵的阶行列式因子，则称
为的第个不变因子。其中。
初等因子组
假定所讨论的问题都是在复数域中进行，这是任一多项式均可分解为一次因式方幂的积。设的各个不变因子分解如下：
文章图片
式中，是互不相等的复数，是非负整数。因为，可知上述分解式的指数有如下关系：
称上述指数的因式为的初等因子。在计算的初等因子的个数时，要把重复的包括在内。的全部初等因子称为的初等因子组。
若当(Jordan)块和若当矩阵
易知阶方阵的特征矩阵的初等因子只有一个，称 为若当(Jordan)块，称矩阵为若当矩阵。
的初等因子组是：
这样，若一个数字矩阵的特征矩阵的初等因子组也是式时，即可知 .以上叙述可归纳为以下定理：
定理：若阶方阵的特征矩阵的初等因子组是,则有
式中时，，
?时，
如果不计若当矩阵中若当块的排列次序，则若当矩阵由矩阵唯一确定，称为的若当标准形。
例1：求矩阵的若当标准形。
解：,令得
对于 ，零空间维数 ，故有两个若当块；
对于 ，零空间维数 ，故有一个若当块；
综上，
例2：设，求可逆矩阵，使为的若当标准形。
解：
令，得.
对于，零空间维数为1，故有1个若当块；
对于，零空间维数为1，故有1个若当块；
综上，共有两个若当块，故，
设可逆阵，使得，即，则有
即
解齐次线性方程组,
解齐次线性方程组.
由非齐次线性方程组，
【矩阵分析学习笔记（六）-若当(Jordan)标准形】故
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