计组——定点数原码反码补码移码以及它们之间的转换计算机学科基础综合

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原码用尾数表示真值的绝对值，符号位“0/1”对应“正/负”

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若机器字长n+1位，原码整数的表示范围： ? ( 2 n ? 1 ) ≤ x ≤ 2 n ? 1 {\color{Red} -(2^{n}-1)\leq x\leq 2^{n}-1} ?(2n?1)≤x≤2n?1（关于原点对称）
真值0有 + 0 {\color{Red} +0} +0 和? 0 {\color{Red} -0} ?0 两种形式

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若机器字长 n+1 位，原码小数的表示范围： ? ( 1 ? 2 ? n ) ≤ x ≤ 1 ? 2 ? n {\color{Red} -(1-2^{-n})\leq x\leq 1-2^{-n}} ?(1?2?n)≤x≤1?2?n（关于原点对称）
真值0有 + 0 {\color{Red} +0} +0 和? 0 {\color{Red} -0} ?0 两种形式
反码若符号位为0，则反码与原码相同
若符号位为1，则数值位全部取反
若机器字长 n+1 位，反码整数的表示范围： ? ( 2 n ? 1 ) ≤ x ≤ 2 n ? 1 {\color{Red} -(2^{n}-1)\leq x\leq 2^{n}-1} ?(2n?1)≤x≤2n?1（关于原点对称）
若机器字长 n+1 位，反码小数的表示范围： ? ( 1 ? 2 ? n ) ≤ x ≤ 1 ? 2 ? n {\color{Red} -(1-2^{-n})\leq x\leq 1-2^{-n}} ?(1?2?n)≤x≤1?2?n（关于原点对称）
真值0有 + 0 {\color{Red} +0} +0 和? 0 {\color{Red} -0} ?0 两种形式
[ + 0 ] 原 = 0 , 0000000 [+0]_{原}=0,0000000 [+0]原?=0,0000000[ ? 0 ] 原 = 1 , 0000000 [-0]_{原}=1,0000000 [?0]原?=1,0000000
[ + 0 ] 反 = 0 , 0000000 [+0]_{反}=0,0000000 [+0]反?=0,0000000[ ? 0 ] 反 = 1 , 1111111 [-0]_{反}=1,1111111 [?0]反?=1,1111111
补码正数的补码=原码
负数的补码=反码末尾+1（要考虑进位）
若机器字长 n+1 位，补码整数的表示范围： ? 2 n ≤ x ≤ 2 n ? 1 {\color{Red} -2^{n}\leq x\leq 2^n-1} ?2n≤x≤2n?1（比原码多表示一个负数 ? 2 n {\color{Red}-2^{n}} ?2n）
若机器字长 n+1 位，补码小数的表示范围： ? 1 ≤ x ≤ 1 ? 2 ? n {\color{Red} -1\leq x\leq 1-2^{-n}} ?1≤x≤1?2?n（比原码多表示一个 ? 1 {\color{Red}-1} ?1）
补码的作用：让减法操作转变为等价的加法操作，节省硬件成本，ALU中无需集成减法器，执行加减法时，符号位一起参与运算
注意：补码的真值0只有一种表示形式
定点整数补码[ x ] 补 = 1 , 0000000 [x]_{补}=1,0000000 [x]补?=1,0000000 表示x = ? 2 7 {\color{Red} x=-2^{7}} x=?27
整数的原码和补码之间的相互转换都是数值位取反，末尾加1
定点小数补码[ x ] 补 = 1 , 0000000 [x]_{补}=1,0000000 [x]补?=1,0000000 表示x = ? 1 {\color{Red} x=-1} x=?1
小数的原码和补码之间的相互转换都是尾数取反，末尾加1
移码在补码的基础上将符号位取反。注意：移码只能用于表示整数
移码的真值0只有一种表示形式：[ + 0 ] 移 = [ ? 0 ] 移 = 1 , 0000000 [+0]_{移}=[-0]_{移}=1,0000000 [+0]移?=[?0]移?=1,0000000
若机器字长 n+1 位，移码整数的表示范围： ? 2 n ≤ x ≤ 2 n ? 1 {\color{Red} -2^{n}\leq x\leq 2^n-1} ?2n≤x≤2n?1（与补码相同）
移码的作用：移码很方便的用计算机硬件判断两个整数的大小
之后的浮点数的相关运算中会大量使用到移码
练习

定点整数x=50，用8位原码、反码、补码、移码表示

32	16	8	4	2	1
1	1	0	0	1	0

前面补0，凑足8位，其中第一位为符号位
[ x ] 原 = [ x ] 反 = [ x ] 补 = 0 0110010 [x]_{原}=[x]_{反}=[x]_{补}={\color{Red} 0}0110010 [x]原?=[x]反?=[x]补?=00110010
[ x ] 移 = 1 0110010 [x]_{移}={\color{Red} 1}0110010 [x]移?=10110010 （补码的符号位由1变为0）

定点整数x=-100，用8位原码、反码、补码、移码表示

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【解析】
[ x ] 原 = 1 1100100 [x]_{原}={\color{Red} 1}1100100 [x]原?=11100100
[ x ] 反 = 1 0011011 [x]_{反}={\color{Red} 1}0011011 [x]反?=10011011（原码数值位取反）
[ x ] 补 = 1 0011100 [x]_{补}={\color{Red} 1}0011100 [x]补?=10011100（补码数值位加1）
[ x ] 移 = 0 0011100 [x]_{移}={\color{Red} 0}0011100 [x]移?=00011100（补码的符号位由1变为0）

求下列各种码对应的真值
[ x ] 原 = 1 0001101 [x]_{原}={\color{Red} 1}0001101 [x]原?=10001101 【-(1+4+8)=-13】
[ x ] 反 = 1 0001101 [x]_{反}={\color{Red} 1}0001101 [x]反?=10001101 【 [ x ] 原 = 1 1110010 [x]_{原}={\color{Red} 1}1110010 [x]原?=11110010，-(2+16+32+64)=-114】
[ x ] 补 = 1 0001101 [x]_{补}={\color{Red} 1}0001101 [x]补?=10001101 【 [ x ] 原 = 1 1110011 [x]_{原}={\color{Red} 1}1110011 [x]原?=11110011, -115】
[ x ] 移 = 1 0001101 [x]_{移}={\color{Red} 1}0001101 [x]移?=10001101 【 [ x ] 补 = 0 00001101 [x]_{补}={\color{Red} 0}00001101 [x]补?=000001101= [ x ] 原 [x]_{原} [x]原?(正数的原码等于补码), +13】
【解析】
[ x ] 原 = 0 0001101 [x]_{原}={\color{Red} 0}0001101 [x]原?=00001101 【+(1+4+8)=+13】
[ x ] 反 = 0 0001101 [x]_{反}={\color{Red} 0}0001101 [x]反?=00001101 【+13】
[ x ] 补 = 0 0001101 [x]_{补}={\color{Red} 0}0001101 [x]补?=00001101 【+13】
[ x ] 移 = 0 0001101 [x]_{移}={\color{Red} 0}0001101 [x]移?=00001101 【 [ x ] 补 = 1 0001101 [x]_{补}={\color{Red} 1}0001101 [x]补?=10001101， [ x ] 原 = 1 1110011 [x]_{原}={\color{Red} 1}1110011 [x]原?=11110011, -(1+2+16+32+64)=-115】

补充：由 [ x ] 补 [x]_{补} [x]补?快速求 [ ? x ] 补 [-x]_{补} [?x]补?的方法符号位、数值位全部取反，末位+1
总结 【计组——定点数原码反码补码移码以及它们之间的转换】

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原码和反码的真值0有两种表示；
补码和移码的真值0只有一种表示。
若机器字长为n+1位，则：
原码和反码：
整数表示范围： ? ( 2 n ? 1 ) ≤ x ≤ 2 n ? 1 {\color{Red} -(2^{n}-1)\leq x\leq 2^{n}-1} ?(2n?1)≤x≤2n?1
小数表示范围： ? ( 1 ? 2 ? n ) ≤ x ≤ 1 ? 2 ? n {\color{Red} -(1-2^{-n})\leq x\leq 1-2^{-n}} ?(1?2?n)≤x≤1?2?n
补码：
整数表示范围： ? 2 n ≤ x ≤ 2 n ? 1 {\color{Red} -2^{n}\leq x\leq 2^n-1} ?2n≤x≤2n?1
小数表示范围： ? 1 ≤ x ≤ 1 ? 2 ? n {\color{Red} -1\leq x\leq 1-2^{-n}} ?1≤x≤1?2?n
移码：
整数表示范围： ? 2 n ≤ x ≤ 2 n ? 1 {\color{Red} -2^{n}\leq x\leq 2^n-1} ?2n≤x≤2n?1
移码全0真值最小，移码全1真值最大