密码学|RSA 加密算法主要公式 RSA加密算法|非对称加密算法

目录
计算问题
将题中的数带入公式
将密文进行解密验算
RSA 是非对称的加密算法，其中它有一些相关的数学公式。让我们从一道软考信息安全工程师的题目开始了解 RSA 的数学公式。

计算问题下面是一道关于 RSA 计算的问题，比较简单，可以从这道题来学习和了解关于 RSA 非对称加密算法的相关知识。当然，具体关于 RSA 加密算法的知识不能仅限于以下问题，应该更全面的了解相关的知识。但是下面的问题已经把其中的重点算法表现出来了。

问题：在 RSA 算法中，取密钥 E = 3，D = 7，则明文 6 的密文是（）。

RSA 算法的相关公式
下面是关于 RSA 的主要数学公式：
n = p * q
?(n) = (p - 1) * (q - 1)
ed ≡ 1 mod ?(n)
c = m**e mod n
m = c**d mod n

对上面的公式进行一个简单的说明。

在整个公钥体制中，e 和 n 是公开的，e 是公钥，n 是两个大素数的乘积。
m 和 c 分别是明文和密文，这部分在所有的加密算法中都会涉及。
其余的 p、q、d 是保密的，p 和 q 是两个大素数，n 就是通过 p 和 q 相乘得到的，d 是私钥。
e 和 d 的关系满足 e * d ≡ 1 mod ?(n) ，也就是说 d 是 e 的乘法逆元，或者说e * d 和 1 同 ?(n)求模同余。其中 ≡ 是数论中的“求模同余”的意思，而不是“恒等”的意思。

【密码学|RSA 加密算法主要公式】说明：其中两个 ** 是幂次方的意思，这种写法是 Python 语言中的写法，比如 7 ** 3 就是 7 的 3 次方的意思。

将题中的数带入公式 ed ≡ 1 mod ?(n)
3 * 7 ≡ 1 mod ?(n)
21 ≡ 1 mod ?(n)
?(n) = 20
?(n) = 2 * 10 = (p - 1) * (q - 1)
p, q = 3, 11
n = p * q = 3 * 11 = 3

上面的步骤通过 ed 得到了 ?(n)，而 ?(n) 是 20 的情况下，我们可能算出 p - 1 和 q - 1 是 4 和 5，也可能是 2 和 10。
如果 p - 1 和 q - 1 分别是 4 和 5，那么 p 和 q 就是 5 和 6，而 6 不是素数；
如果 p - 1 和 q - 1 分别是 2 和 10，那么 p 和 q 就是 3 和 11，此时两个数都为素数。
得到 p 和 q 以后，就得到了 n。

在得到 n 以后套用加密算法的公式，即可计算 6 的密文。
c = m**e mod n = 6 ** 3 mod 33 = 18

因此明文 6 的密文是 18。
其中 6 ** 3 是 6 * 6 * 6，通过降幂可以简化为

6 ** 3
3 = 1 * (2 ** 0) + 1 * (2 ** 1)
t0 = 6 mod 33 = 6
t1 = 6 ** 2 mod 33 = 3
t0 * t1 mod n = 6 * 3 mod 33 = 18

可以在 Python 的交互环境中进行验算：

>>> 6 ** 3 % 33 18

将密文进行解密验算除了用 Python 验算以外，用解密算法对密文 18 进行解密，如果得到明文 6，也说明上面的计算是正确的。
m = c ** d mod n = 18 ** 7 mod 33 = 6
其中 18 ** 7 如果使用 7 个 18 相乘来手动计算，是一件麻烦的事情，所以这里使用降幂的方式来进行手动计算，是非常有必要的。

18 ** 7
7 = 1 * (2 ** 0) + 1 * (2 ** 1) + 1 * (2 ** 2)
t0 = 18 mod 33 = 18
t1 = 18 ** 2 mod 33 = 27
t2 = 27 ** 2 mod 33 = 3
t0 * t1 * t2 mod n = 18 * 27 * 3 mod 33 = 6

通过降幂计算，18 ** 7 计算起来只用了 4 步就完成了，数值也没有太大。
因此，密文 18 解密后是 6

在 Python 下进行验算：