【概率论】随机变量【概率论】随机变量

随机变量定义一般地，随机变量是从 \(\Omega\)?（样本空间）到实数域上的函数。
累积分布函数 \(F(x) = P(X\leq x),x\in(-∞,∞)\)
离散随机变量是只取有限值或至多可列无限值的随机变量。

一般地，能与整数集形成一一对应的集合就是可列无限集。

伯努利随机变量
频率函数为：

\[p(1) = p\\ p(0) = 1-p\\ p(x) = 0(x\neq0,1) \]
二项分布
假设进行 \(n\) 次独立实验，每次实验成功的概率为 \(p\)，失败的概率为 \(1-p\)，那么成功的次数 \(X\) 参数为 \(n,p\) 的二项随机变量。
\(p(k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}\)
泊松分布
泊松分布多出现在当 \(X\) 表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。
当 \(n\) 较大，\(p\) 较小时，泊松频率函数可以用来近似二项概率。
参数为 \(\lambda\) 的泊松频率函数为：
\(p(k) = \frac{\lambda ^ k}{k!}e^{-\lambda}\)?
推导考察时间段 \([0, 1)\) 事件 \(A\) 发生的次数 \(X\)。
我们将时间段均匀划分为 \(n\) 段，并假定对于每个时间段，事件 \(A\) 恰好发生一次的概率与 \(1/n\) 成正比，设 \(p = \lambda/n\)。

因为 \(p\) 是很小的，所以我们可以将长度为 \(1/n\) 的时间段发生事件 \(A\) 次数大于 \(1\) 的概率看作是 \(0\)。

那么 \(X\)??? 显然是服从参数为 \((n, p)\)??? 的二项分布的（记为 \(X\sim B(n, p)\)?????），因此有
\(p(k) = C_n^k (\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}\)
当 \(n\to ∞\) 时，
\(\frac{C_n^k}{n^k} = \frac{1}{k!} \\ (1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} = e^{-\lambda}\)
故 \(p(k) = \frac{\lambda ^ k}{k!}e^{-\lambda}\)?。
连续随机变量密度函数
对于连续随机变量，频率函数被密度函数 \(f(x)\)? 取代，密度函数具有性质：
\(f(x) \geq 0 \\ \int_{-∞}^∞ f(x)dx = 1\)?
如果 \(X\) 是具有密度函数 \(f\) 的随机变量，那么它落在 \((a, b)\) 的概率为：
\(P(a 均匀密度
一般地，区间 \([a, b]\) 的均匀密度是：

\[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{a-b} & x\in [a, b]\\ 0 & 其它 \end{cases} \]
指数密度
指数分布常用来刻画生命周期或等待时间。
密度函数为：

\[f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x\geq 0\\ 0 & x<0 \end{cases} \]
分布函数为：

\[F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x} & x\geq 0\\ 0 & x<0 \end{cases} \]
推导假定事件 \(A\) 是无记忆性的，以无记忆性的元件寿命为例，这意味着从 \(0\) 时刻开始至少存活到到 \(t\)? 时刻的概率等于 \(s\) 时刻开始至少存活至 \(s+t\) 时刻的概率是相等的。
有了这个假定，我们从 \(0\) 时刻开始考察，假设事件 \(A\) 未发生，时刻 \(\Delta T\) 发生的概率为 \(p = \lambda \Delta T\)。
记事件 \(A\) 在时刻 \(x\) 发生的概率密度为 \(f(x)\)，那么事件 \(A\) 在时刻 \(x\) 发生（之前不发生）的概率为：
\(f(x)\Delta T = (1-p)^{x/\Delta T -1}p\)
因此 \(f(x) = \lim_{\Delta T\to 0}(1-\lambda\Delta T)^{x/\Delta T-1}\lambda = \lambda e^{-\lambda x}\)
正态分布
\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},~x\in(-\infty, +\infty),\mu \in(-\infty,+\infty),~\sigma\in(0,+\infty)\)
\(\mu\) 称为均值，\(\sigma\)? 称为标准差。?

推导很复杂的样子 qwq，待补。

随机变量的函数 \(X\) 为具有密度为 \(f_X(x)\) 的随机变量，随机变量 \(Y=g(X)\)（其中 \(g\) 可微并在区间 \(I\) 上单调），那么 \(f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))|\frac{dg^{-1}(y)}{dy}|\)
推导
不妨设 \(g\) 单调递增。
\(F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(g(X)\leq y) = P(X\leq g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y))\)，对 \(y\) 求导即得：
\(f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \frac{dg^{-1}(y)}{dy}\)
\(g\) 单调递减的情况完全类似，有 \(f_Y(y) = -f_X(g^{-1}(y)) \frac{dg^{-1}(y)}{dy}\)
【【概率论】随机变量】故我们统一写成 \(f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))|\frac{dg^{-1}(y)}{dy}|\)。