锐客网

  1. 首页 > it技术 > >

【完虐算法】自顶向下专题类目|【完虐算法】自顶向下专题类目 全复盘

零 刷题复盘进度
大家好，我是Johngo！
这篇文章是「讲透树」的第 3 篇文章，也是「树」专题中自顶向下这类题目的一个复盘总结。
一起刷题的小伙伴们，复盘还是要唠叨一句，记录思路，在记录的过程中，又一次深刻体会！
还是直观的先看看本文的所处的一个进度。
【完虐算法】自顶向下专题类目|【完虐算法】自顶向下专题类目 全复盘
文章图片

基本上，绝大多数关于「树」的题目，会有很大一类属于「自顶向下」类型的。
什么意思？就是计算结果的时候，通常会涉及从树根到叶子节点的计算过程，比如说最大深度、路径总和、从根结点到叶子结点的所有路径等等，都属于「自顶向下」这类题目。
涉及到的题目
104.二叉树的最大深度: https://leetcode-cn.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree
112.路径总和: https://leetcode-cn.com/problems/path-sum
113.路径总和 II: https://leetcode-cn.com/problems/path-sum-ii
437.路径总和 III: https://leetcode-cn.com/problems/path-sum-iii
257.二叉树的所有路径: https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-paths
129.求根节点到叶节点数字之和: https://leetcode-cn.com/problems/sum-root-to-leaf-numbers
988.从叶结点开始的最小字符串: https://leetcode-cn.com/problems/smallest-string-starting-from-leaf
然后这类题目的解决方法基本又会有两类：

第一类：BFS，广度优先搜索，利用层次遍历的方式进行解决
第二类：DFS，深度优先搜索，利用前中后序遍历树的方式进行问题的解决
既然先说的 BFS，咱们就从 BFS 先说起，后面再描述 DFS 的解决方式。
一 BFS 思路
BFS（Breadth First Search）：广度优先搜索
回忆一下经典二叉树的层序遍历问题，把需要的图放出来先看看。
【完虐算法】自顶向下专题类目|【完虐算法】自顶向下专题类目 全复盘
文章图片

很简单的一个过程。循环判断队列 queue 中是否有元素，如果有，访问该元素并且判断该结点元素是否有孩子结点，如果有，孩子结点依次入队 queue，否则，继续循环执行。
再来看看代码：
res = [] while queue: node = queue.pop() res.append(node.val) if node.left: queue.appendleft(node.left) if node.right: queue.appendleft(node.right)

很顺畅很经典的一个层次遍历的代码。
现在想要抛出 2 个引例，往上述代码中添加点作料，看是否可以很容易就解答。
引例一
遍历过程中能否记录根结点到当前结点的一些信息？
包括：
1、根结点到当前结点的路径信息
2、根结点到当前结点的路径和
把上述图中结点中的字母对应为数字，达到引例一中的要求情况，看下图：
【完虐算法】自顶向下专题类目|【完虐算法】自顶向下专题类目 全复盘
文章图片

在遍历过程中，不断的进行结点值【包括结点对象、根结点到当前结点路径、根结点到当前结点路径和】的记录。
node 表示结点对象
node_path 表示根结点到当前结点路径
node_val 表示根结点到当前结点路径和
Python 中使用元祖进行表示结点的三元组信息：(node, node_path, node_val)
代码实现：
res = []while queue: node, node_path, node_val = queue.pop() res.append((node, node_path, node_val)) if node.left: queue.appendleft((node.left, node_path+str(node.left), node_val+node.left.val)) if node.right: queue.appendleft((node.right, node_path+str(node.right), node_val+node.right.val))

这样，在遍历过程中，就会将三元组的信息随时携带。完美解决！
引例二
能否在层序遍历过程中，携带一个值进行层序的记录?
【完虐算法】自顶向下专题类目|【完虐算法】自顶向下专题类目 全复盘
文章图片

对，就是这样，利用一个额外的变量来记录层序。
这个的思路，其实很容易就让我想到之前二叉树按照 LeetCode 形式打印的一个过程（不太记得的小伙伴可以查看 https://mp.weixin.qq.com/s/MkCF5TaR1JD3F3E2MKlgVw 回忆下关于LeetCode的层序遍历）
下面我又把 LeetCode 中要求层次遍历的图解过程放出来，作为回忆参考！
「点击下图查看高清原图」
【完虐算法】自顶向下专题类目|【完虐算法】自顶向下专题类目 全复盘
文章图片

即，在每一层遍历的时候，进行 node_depth+=1 的操作。先来看最初代码的样子（还。。记得吗~？）：
def levelOrder(self, root): res = [] if not root: return res queue = [root] while queue: level_queue = []# 临时记录每一层结点 level_res = []# 临时记录每一行的结点值 for node in queue: level_res.append(node.val) if node.left: level_queue.append(node.left) if node.right: level_queue.append(node.right) queue = level_queue res.append(level_res) return res

每一层的遍历，都是 queue 被赋予新的一个队列 level_queue，即新的一层的所有结点集。
在此思路的基础上
首先，初始化变量用作记录层序值 node_depth = 0
其次，在每一次while queue: 之后进行 node_depth+=1
最后 node_depth 的值就是你想要的某一层的值
看代码小改动后的实现
def levelOrder(self, root): res = [] # 层序记录 node_depth = 0 if not root: return res queue = [root] while queue: node_depth += 1# 层序值+1 level_queue = [] level_res = [] for node in queue: level_res.append(node.val) if node.left: level_queue.append(node.left) if node.right: level_queue.append(node.right) queue = level_queue res.append(level_res) return res

哈哈对，不要找了！就是有注释的那两行，只不过要取的 node_depth 的值是你所需要的那个值。
比如说，最大深度的计算，那就是最后 node_depth 的值；如果是根结点到某一结点路径和你给到的 target 值一致的时候的那个深度，那就是被满足结点所在层序的 node_depth 。
好！
两个重要的问题被引出来，有没有什么感觉，是不是真的是比较简单的一个思路。下面就来看看这些简单思路，能处理哪些问题！
利用上述「引例一」和「引例二」的思路举例看看对 LeetCode 中部分题目有什么帮助？
LeetCode104.二叉树的最大深度
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree
GitHub解答：https://github.com/xiaozhutec/share_leetcode/blob/master/树/104.二叉树的最大深度.py
其实就是「引例二」中携带一个值进行层序的记录，最后返回的 node_depth 就是二叉树的最大深度！
def maxDepth_bfs(self, root): if not root: return 0 queue = collections.deque() # 初始化深度为 0 node_depth = 0 # 初始化队列中的结点元素 root queue.appendleft(root) while queue: # 每一层的遍历，深度 +1 node_depth += 1 # 记录每一层的结点集合 level_queue = [] for node in queue: if node.left: level_queue.append(node.left) if node.right: level_queue.append(node.right) queue = level_queuereturn node_depth

是不是很容易就解决了！
再来看一个：
LeetCode112.路径总和:
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/path-sum
GitHub解答：https://github.com/xiaozhutec/share_leetcode/blob/master/树/112.路径总和.py
LeetCode112题目是从根结点到叶子结点，是否存在路径和为 target 的一个路径。
如下图，如果咱们要找路径和为 target=16 的一个路径，利用「引例一」中的思路，很容易就可以判断，在最后一个结点中的三元组 (9, 1->2->4->9, 16) 中能够得到路径为 1->2->4->9。
【完虐算法】自顶向下专题类目|【完虐算法】自顶向下专题类目 全复盘
文章图片

代码实现起来也很容易
def hasPathSum_bfs(self, root, targetSum): if not root: return False queue = [(root, root.val)] while queue: node, node_sum = queue.pop(0) if not node.left and not node.right and node_sum == targetSum: return True if node.left: queue.append((node.left, node_sum+node.left.val)) if node.right: queue.append((node.right, node_sum+node.right.val)) return False

这里返回了存在该路径，为 True，如果想要返回路径，那么直接将路径返回就可以了！
再来看一个：
LeetCode257.二叉树的所有路径:
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-paths
GitHub解答：https://github.com/xiaozhutec/share_leetcode/blob/master/树/257.二叉树的所有路径.py
就是要把所有从根结点开始到叶子结点所有的路径遍历出来。其实还是「引例一」中的思路，当遍历到叶子结点的时候，将所有叶子结点中的三元组中的路径值取出。例如叶子结点 (9, 1->2->4->9, 16) 中的路径为 1->2->4->9取出。
【完虐算法】自顶向下专题类目|【完虐算法】自顶向下专题类目 全复盘
文章图片

可以得到一个路径集合：
[[1->3->6], [1->3->7], [1->2->4->8], [1->2->4->9]]

代码很类似
def binaryTreePaths_bfs(self, root): res = [] if not root: return res queue = collections.deque() queue.appendleft((root, str(root.val)+"->")) while queue: node, node_val = queue.pop() if not node.left and not node.right: res.append(node_val[0:-2]) if node.left: queue.appendleft((node.left, node_val + str(node.left.val) + "->")) if node.right: queue.appendleft((node.right, node_val + str(node.right.val) + "->")) return res

核心还是记录遍历过程中对路径的记录情况，最后得到想要的结果！
再来看最后一个例子：
LeetCode129.求根节点到叶节点数字之和
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/sum-root-to-leaf-numbers
GitHub解答：https://github.com/xiaozhutec/share_leetcode/blob/master/树/129.求根节点到叶节点数字之和.py
这个题目依然延续了「引例一」中的思路，就是将路径中的数字一次记录，转为数字，进行相加。
【完虐算法】自顶向下专题类目|【完虐算法】自顶向下专题类目 全复盘
文章图片

举例说，图中路径分别为[[1->3->6], [1->3->7], [1->2->4->8], [1->2->4->9]]，对应的数字为 [10, 11, 15, 16]，那么，数字之和为 10+11+15+16=52。
上一题目是将路径完整的遍历出来，这个题目就是增加了一个步骤，那就是将每个路径转为数字，并且相加。
def sumNumbers_bfs(self, root): res = [] sum = 0 if not root: return 0 queue = collections.deque() queue.append((root, str(root.val))) while queue: node, node_val = queue.pop() if node and not node.left and not node.right: res.append(node_val) if node.left: queue.appendleft((node.left, node_val+str(node.left.val))) if node.right: queue.appendleft((node.right, node_val+str(node.right.val))) for item in res: sum += int(item) return sum

就是最后一个步骤，将数组中的数字型字符串转为整数并且相加。得到最终的结果！
还有一些其他类似的题目，这里就先不说了，文章最开头给出的「自顶向下」这类题目都在 github：https://github.com/xiaozhutec/share_leetcode/tree/master/树 上进行了记录，细节代码可以参考。
关于这部分题目，重点想说的就是「引例一」和「引例二」两方面的思路，这两方面的思路已经可以把这类题目的绝大多数都可以解决了！
下面再总结下利用 DFS 的思路进行问题的解决。
二 DFS 思路
DFS（Depth First Search）：深度优先搜索
回忆下之前的二叉树的递归遍历，也可以说是 DFS 的思路。之前在这篇文章中详细阐述过 https://mp.weixin.qq.com/s/nTB41DvE7bfrT7_rW_gfXw
利用递归进行二叉树的遍历，很简单但是不太容易理解。在之前也详细说过这方面的理解方式。
很多时候我会利用一个很 easy 的思路是，将二叉树的递归遍历利用在「二叉树」的叶子结点以及再向上一层进行理解和问题的解决。
下面先来看看各个遍历的代码。
二叉树的先序遍历：
def pre_order_traverse(self, head): if head is None: return print(head.value, end=" ") self.pre_order_traverse(head.left) self.pre_order_traverse(head.right)

二叉树的中序遍历：
def in_order_traverse(self, head): if head is None: return self.in_order_traverse(head.left) print(head.value, end=" ") self.in_order_traverse(head.right)

二叉树的后续遍历：
def post_order_traverse(self, head): if head is None: return self.post_order_traverse(head.left) self.post_order_traverse(head.right) print(head.value, end=" ")

看完这几段代码，它的整洁性令人舒服，但是它的可读性确实不太高...
下一期，还会复盘一期《讲透树 | 非自顶向下题目专题》，与这一期「自顶向下」题目不同，思路也会有些差别。
这一期先把「自顶向下」这类题目运用 DFS 的思路说明白了！
利用二叉树的递归思路，其实很容易就可以解决这类问题，把 BFS 说到的题目用 DFS 思路解决一下，代码看起来更加的简洁，美观！
LeetCode104.二叉树的最大深度
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree
GitHub解答：https://github.com/xiaozhutec/share_leetcode/blob/master/树/104.二叉树的最大深度.py
简单到气人，理解到想打人！
def maxDepth_dfs(self, root): if not root: return 0 else: max_left = self.maxDepth_dfs(root.left) max_right = self.maxDepth_dfs(root.right) return max(max_left, max_right) + 1

太简单了叭！！~~
一个后续遍历，很快就把问题解决了！
由于使用了递归调用，那么还是从叶子结点开始考虑：
a.当递归到叶子的时候，程序return 0，也就是递归使用 self.maxDepth_dfs(root.left)以及 self.maxDepth_dfs(root.right)的时候，返回值为 0；
b.往上考虑一层，递归使用 self.maxDepth_dfs(root.left)或者 self.maxDepth_dfs(root.right)的时候，返回值是return max(max_left, max_right) + 1， 是 【a.】的返回值 0+1。
通过以上【a. b.】两点锁构造的思路进行代码的设计，一定是正确的。
重点重点重点：以上的【b.】，不是太容易理解，用心思考，恍然大悟的时候，真的很巧妙！
下一个题目：
LeetCode112.路径总和:
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/path-sum
GitHub解答：https://github.com/xiaozhutec/share_leetcode/blob/master/树/112.路径总和.py
LeetCode112题目是从根结点，寻找路径和为 target 的一个路径。
又是一个代码过分简洁的例子：
def hasPathSum(self, root, targetSum): if not root: return False if not root.left and not root.right: return root.val == targetSum return self.hasPathSum(root.left, targetSum - root.val) or self.hasPathSum(root.right, targetSum - root.val)

思路点：递归将 targetSum-递归到的结点值 ，直到遇到叶子结点的时候，刚好被完全减去，得到0。即存在该路径。
上述是一个很简洁的先序遍历过程。
由于使用了递归调用，那么依然从叶子结点开始考虑：
a.当递归到叶子的时候，程序判断叶子结点的值和tagetSum被减的剩余的值是否相等；
b.往上考虑一层，递归使用 self.hasPathSum(root.left, targetSum - root.val)以及self.hasPathSum(root.right, targetSum - root.val)的时候，返回值是【a.】返回的值。
再来看一个：
LeetCode257.二叉树的所有路径:
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-paths
GitHub解答：https://github.com/xiaozhutec/share_leetcode/blob/master/树/257.二叉树的所有路径.py
这个题目用 DFS 解决起来，同样是非常简洁的，但是中间多了一个步骤的记录，所以会多几行代码：
def binaryTreePaths_dfs(self, root): res = [] if not root: return resdef dfs(root, path): if not root: return if root and not root.left and not root.right: res.append(path + str(root.val)) if root.left: dfs(root.left, path + str(root.val) + "->") if root.right: dfs(root.right, path + str(root.val) + "->") dfs(root, "") return res

核心还是一个递归的先序遍历，依然咱们用递归解决思路步骤来分析一下：
a.当递归到叶子的时候，没有左右孩子，直接将该结点加入到路径中来；
b.往上考虑一层，递归使用 dfs(root.left, path + str(root.val) + "->")以及dfs(root.right, path + str(root.val) + "->")的时候，就是将当前结点值加入到路径中。
还是依照这样的思路，就可以很容易的将题目解决！
再来看最后一个例子：
LeetCode129.求根节点到叶节点数字之和
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/sum-root-to-leaf-numbers
GitHub解答：https://github.com/xiaozhutec/share_leetcode/blob/master/树/129.求根节点到叶节点数字之和.py
这个题目与上一个题目，很类似，就是将计算好的路径值转为整型进行相加，看看代码：
def sumNumbers_dfs(self, root): res = []# 所有路径集合 sum = 0# 所有路径求和def dfs(root, path): if not root: return if root and not root.left and not root.right: res.append(path + str(root.val)) if root.left: dfs(root.left, path + str(root.val)) if root.right: dfs(root.right, path + str(root.val))dfs(root, "") for item in res: sum += int(item)return sum

核心本质还是一个递归实现的先序遍历，两个步骤就先不分析了，参考上个题目。
嗯。。大概本篇的「树-自顶向下」已经接近尾声，寻找刷题组织的小伙伴们可以一起参与进来，私信我就OK！咱们一起坚持！
三 总结唠叨几句
个人刷题经验，难免会出现思路上的欠缺，如果大家有发现的话，一定提出来，一起交流学习！
关于「树-自顶向下」这类题目，既适合用 BFS 思路解决，又适合使用 DFS 的思路进行解决。
用 BFS 解决问题的时候，思路清晰，代码稍微看起来会有些多！
可是用 DFS 的情况是，代码简洁，但是思路有时候会有些混乱，需要大量的练习才能逐渐的清晰起来！
下一期是讲透树 | 非自顶向下题目专题》，专门说说「树-非自顶向下」这一类，不知道会不会再有最后复盘的一期，看思路而定吧。
【【完虐算法】自顶向下专题类目|【完虐算法】自顶向下专题类目 全复盘】代码和本文的文档都在 https://github.com/xiaozhutec/share_leetcode，需要的小伙伴可以自行下载代码运行跑起来！方便的话给个 star。谢过大家！

    推荐阅读


    上一篇：Java经典面试题-不古出品

    下一篇：Nginx|Nginx之配置负载均衡