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数据结构—线段树|线段树模板及其详细解释

先摆模板。。。
//线段树模板
struct line
{
int left,right; //左端点、右端点
int n; //记录这条线段出现了多少次，默认为0
};
struct line a[100];
int sum;
//建立
void build(int s,int t,int n)
{
int mid=(s+t)/2;
a[n].left=s;
a[n].right=t;
if (s==t) return;
a[n].left=s;
a[n].right=t;
build(s,mid,2*n);
build(mid+1,t,2*n+1);
}
//插入
void insert(int s,int t,int step)//要插入的线段的左端点和右端点、以及当前线段树中的某条线段
{if (s==a[step].left && t==a[step].right)
{
a[step].n++; //插入的线段匹配则此条线段的记录+1
return; //插入结束返回
}
if (a[step].left==a[step].right)return; //当前线段树的线段没有儿子，插入结束返回
int mid=(a[step].left+a[step].right)/2;
if (mid>=t)insert(s,t,step*2); //如果中点在t的右边，则应该插入到左儿子
else if (mid如果中点在s的左边，则应该插入到右儿子
else//否则，中点一定在s和t之间，把待插线段分成两半分别插到左右儿子里面
{
insert(s,mid,step*2);
insert(mid+1,t,step*2+1);
}
}
//访问
void count (int s,int t,int step)
{
if (a[step].n!=0)
sum=sum+a[step].n*(t-s+1);
if (a[step].left==a[step].right)
return;
int mid=(a[step].left+a[step].right)/2;
if (mid>=t)
count(s,t,step*2);
else
if (mid count(s,t,step*2+1);
else
{
count(s,mid,step*2);
count(mid+1,t,step*2+1);
}
}
下面来自某大牛解释：
线段树的定义
定义1 长度为1的线段称为元线段。
定义2 一棵树被成为线段树，当且仅当这棵树满足如下条件：
（1）该树是一棵二叉树。
（2）树中每一个结点都对应一条线段[a,b]。
（3）树中结点是叶子结点当且仅当它所代表的线段是元线段。
（4）树中非叶子结点都有左右两个子树，做子树树根对应线段[a , (a + b ) / 2]，右子树树根对应线段[( a + b ) / 2 , b]。


但是这种二叉树较为平衡，和静态二叉树一样，提前根据应用的部分建立好树形结构。针对性强，所以效率要高。一般来说，动态结构较为灵活，但是速度较慢；静态结构节省内存，速度较快。
线段树的性质与时空复杂度简介
下面介绍线段树的两个性质（证明略）。
性质1 长度范围为[1,L]的一棵线段树的深度不超过log(L-1) + 1。
性质2 线段树把区间上的任意一条长度为L的线段都分成不超过2logL条线段。
空间复杂度 存储一棵线段树的空间复杂度一般为O（L）。
时间复杂度 对于插入线段、删除线段，查找元素，查找区间最值等操作，复杂度一般都是O（log L）。
线段树主要应用了平衡与分治的性质，所以基本时间复杂度都和log有关。我们在应用线段树解决问题的时候，应尽量在构造好线段树的时候，使每种操作在同一层面上操作的次数为O（1），这样能够维持整体的复杂度O（log L）。
例题：
在自然数，且所有的数不大于30000的范围内讨论一个问题：现在已知n条线段，把端点依次输入告诉你，然后有m个询问，每个询问输入一个点，要求这个点在多少条线段上出现过；
最基本的解法当然就是读一个点，就把所有线段比一下，看看在不在线段中；
每次询问都要把n条线段查一次，那么m次询问，就要运算m*n次，复杂度就是O(m*n)
这道题m和n都是30000，那么计算量达到了10^9；而计算机1秒的计算量大约是10^8的数量级，所以这种方法无论怎么优化都是超时
-----
因为n条线段是固定的，所以某种程度上说每次都把n条线段查一遍有大量的重复和浪费；
线段树就是可以解决这类问题的数据结构
举例说明：已知线段[2,5] [4,6] [0,7]；求点2,4,7分别出现了多少次
在[0,7]区间上建立一棵满二叉树：（为了和已知线段区别，用【】表示线段树中的线段）
【0,7】
/\
【0,3】【4,7】
/\/\
【0,1】【2,3】【4,5】【6,7】
/\/\/\/\
【0,0】【1,1】【2,2】 【3,3】【4,4】 【5,5】 【6,6】【7,7】
每个节点用结构体：
struct line
{
int left,right; //左端点、右端点
int n; //记录这条线段出现了多少次，默认为0
}a[16];
和堆类似，满二叉树的性质决定a[i]的左儿子是a[2*i]、右儿子是a[2*i+1];
然后对于已知的线段依次进行插入操作：
从树根开始调用递归函数insert
void insert(int s,int t,int step)//要插入的线段的左端点和右端点、以及当前线段树中的某条线段
{
if (s==a[step].left && t==a[step].right)
{
a[step].n++; //插入的线段匹配则此条线段的记录+1
return; //插入结束返回
}
if (a[step].left==a[step].right)return; //当前线段树的线段没有儿子，插入结束返回
int mid=(a[step].left+a[step].right)/2;
if (mid>=t)insert(s,t,step*2); //如果中点在t的右边，则应该插入到左儿子
else if (midelse//否则，中点一定在s和t之间，把待插线段分成两半分别插到左右儿子里面
{
insert(s,mid,step*2);
insert(mid+1,t,step*2+1);
}
}
三条已知线段插入过程：
[2,5]
--[2,5]与【0,7】比较，分成两部分：[2,3]插到左儿子【0,3】，[4,5]插到右儿子【4,7】
--[2,3]与【0,3】比较，插到右儿子【2,3】；[4,5]和【4,7】比较，插到左儿子【4,5】
--[2,3]与【2,3】匹配，【2,3】记录+1；[4,5]与【4,5】匹配，【4,5】记录+1
[4,6]
--[4,6]与【0,7】比较，插到右儿子【4,7】
--[4,6]与【4,7】比较，分成两部分，[4,5]插到左儿子【4,5】；[6,6]插到右儿子【6,7】
--[4,5]与【4,5】匹配，【4,5】记录+1；[6,6]与【6,7】比较，插到左儿子【6,6】
--[6,6]与【6,6】匹配，【6,6】记录+1
[0,7]
--[0,7]与【0,7】匹配，【0,7】记录+1
插入过程结束，线段树上的记录如下（红色数字为每条线段的记录n）：
【0,7】
1
/\
【0,3】【4,7】
00
/\/\
【0,1】【2,3】【4,5】【6,7】
0120
/\/\/\/\
【0,0】 【1,1】 【2,2】 【3,3】 【4,4】 【5,5】 【6,6】 【7,7】
00000010
询问操作和插入操作类似，也是递归过程，略
2——依次把【0,7】 【0,3】 【2,3】【2,2】的记录n加起来，结果为2
4——依次把【0,7】 【4,7】 【4,5】【4,4】的记录n加起来，结果为3
7——依次把【0,7】 【4,7】 【6,7】【7,7】的记录n加起来，结果为1
不管是插入操作还是查询操作，每次操作的执行次数仅为树的深度——logN
【数据结构—线段树|线段树模板及其详细解释】建树有n次插入操作，n*logN，一次查询要logN，m次就是m*logN；总共复杂度O(n+m)*logN，这道题N不超过30000，logN约等于14，所以计算量在10^5～10^6之间，比普通方法快了1000倍；

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