COMSOL|COMSOL 偏微分方程接口 COMSOL偏微分方程接口

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COMSOL Multiphysics是一款强大的多物理场仿真软件。除了内置的众多典型物理场外，其还允许用户基于方程进行建模，例如使用 PDEs (Partial Differential Equations) 、ODEs (Ordinary Differential Equations) 以及 DAEs (Differential Algebraic Equations) 建模。这里主要介绍COMSOL偏微分方程接口。
接口简介 COMSOL的偏微分方程接口下常用的有两种方程形式：

系数型偏微分方程
一般形式偏微分方程

系数型偏微分方程
COMSOL提供的模板
e a ? 2 u ? t 2 ? 质量 + d a ? u ? t ? 阻尼 + ? ? ( ? c ? u ? 扩散 ? α u ? 对流 + γ ? 源 ) ? 守恒通量 + β ? ? u ? 对流 + a u ? 吸收 = f ? 源 \underbrace{\textcolor{red}{e_a}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}}_{\text{质量}}+\underbrace{\textcolor{red}{d_a}\frac{\partial u}{\partial t}}_{\text{阻尼}}+\nabla\cdot\overbrace{(-\underbrace{\textcolor{red}{c}\nabla u}_{\text{扩散}}-\underbrace{\textcolor{red}{\alpha} u}_{\text{对流}}+\underbrace{\textcolor{red}{\gamma}}_{\text{源}})}^{\text{守恒通量}}+\underbrace{\textcolor{red}{\beta}\cdot\nabla u}_{\text{对流}}+\underbrace{\textcolor{red}{a}u}_{\text{吸收}}=\underbrace{\textcolor{red}{f}}_{\text{源}} 质量ea??t2?2u???+阻尼da??t?u???+??(?扩散c?u???对流αu??+源γ??)?守恒通量?+对流β??u??+吸收au??=源f??
式中， u u u 为所研究的场变量，红色变量是由用户确定的数值或表达式。
一般形式偏微分方程
COMSOL提供的模板
e a ? 2 u ? t 2 + d a ? u ? t + ? ? Γ = f \textcolor{red}{e_a}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}+\textcolor{red}{d_a}\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\textcolor{red}{\Gamma}=\textcolor{red}{f} ea??t2?2u?+da??t?u?+??Γ=f
同样地， u u u 为场变量，红色变量由用户确定。需要注意，变量Γ \Gamma Γ 可以为包含场变量以及其偏导数的复杂表达式。
算例测试采用《相场损伤模型》中的物理模型，即
{ d ? l 2 Δ d = 0i nV ? d ? n = 0o n? V d ( x ) = 1o nΓ \begin{cases} d-l^2\Delta d=0&~\mathrm{in}~V\\[5pt] \nabla d\cdot\boldsymbol{n}=0&~\mathrm{on}~\partial V\\[5pt] d(\boldsymbol{x})=1&~\mathrm{on}~\Gamma \end{cases} ??????????d?l2Δd=0?d?n=0d(x)=1? in V on ?V on Γ?
对于特征长度参数l = 0.25 l=0.25 l=0.25 、边长为 2 的正方形（二维）求解域进行计算。
采用系数型方程
令扩散系数c = l 2 c=l^2 c=l2 、吸收系数a = 1 a=1 a=1 、其余待定变量均设为零。裂纹几何特征与《相场损伤模型》中保持一致。
计算结果如下

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采用一般形式方程
令守恒通量Γ = [ ? d / ? x , ? d / ? y ] \Gamma=[\partial d/\partial x,\partial d/\partial y] Γ=[?d/?x,?d/?y] 、源项f = d / l 2 f=d/l^2 f=d/l2 、其余待定变量均设为零。裂纹几何特征采用箕舌线的形式，在本文中其具体方程为
{ x = tan ? θ y = cos ? 2 θ ? 0.7 \begin{cases} x=\tan\theta\\[5pt] y=\cos^2\theta-0.7 \end{cases} ????x=tanθy=cos2θ?0.7?
式中， θ ∈ [ ? π / 4 , π / 4 ] \theta\in[-\pi/4,\pi/4] θ∈[?π/4,π/4] 。
计算结果如下

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注意事项

对裂纹处网格进行手动划分时，可设置全局变量来控制裂纹边上的最大单元大小，并将最大单元增长率设为较小值，由此获得较高的网格质量

【COMSOL|COMSOL 偏微分方程接口】本文设裂纹边的最大单元大小l e = 0.07 l_e=0.07 le?=0.07 、最大单元增长率为1.1，除裂纹边外区域的最大单元大小为3 l e 3l_e 3le?