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计算数学与数学理论|【抽象代数】伽罗瓦理论简介

伽罗瓦理论 一、正规扩域 在研究域 F 的代数扩张 E 时，首要的前提是扩域 E 是存在的，其次还要让所有扩域在同一个空间，即它们之间是可运算的。满足这样条件的空间便是 F 的代数闭包，使用集合论的语言，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数扩域的性质自行讨论，这里就先假定它的存在性。其次，不同的闭包之间并不一定是互通的，下面的讨论将回避这种“平行世界”的讨论，将范围限制在某个选定的代数闭包 Ω Ω Ω中。
即使只在某个闭包中，满足特定条件的扩域总也有多种选择的方法，这种将域对应到闭包中的映射一般称为域的嵌入，不同的嵌入之间称为共轭域。它不仅给域找到了统一的闭包，还是研究扩域结构的重要方法（共轭域当然都保持 F 完全不变）。在前面构造单扩域时，你可能已经发现，构造出的扩域其实与根的选取无关，它们互为共轭域。如果将单扩域嵌入到闭域中，每一种嵌入方法正好对应f ( x ) f(x) f(x) 的一个根，这些共轭域之间可能有互异元素，也可能元素相同但嵌入的方法不同。
以上出现互异元素是因为，可能不是所有根都在同一个单扩域中，我们自然要问：那么不同的分裂域嵌入还会有互异元素吗？更一般地，考察多项式集合 S ? F [ x ] S?F[x] S?F[x]的分裂域E E E，假设E E E 同构于另一个分裂域 E ′ E′ E′且同构映射为 σ σ σ。因为任何 f ( x ) = ( x ? a 1 ) ? ( x ? a n ) ∈ S f(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_n)\in S f(x)=(x?a1?)?(x?an?)∈S的系数在 F 中，所以总有σ ( f ( x ) ) = f ( x ) σ(f(x))=f(x) σ(f(x))=f(x)，所以 ( σ ( a 1 ) , ? ? , σ ( a n ) ) (\sigma(a_1),\cdots,\sigma(a_n)) (σ(a1?),?,σ(an?))只是 ( a 1 , ? ? , a n ) (a_1,\cdots,a_n) (a1?,?,an?)的一个置换。由此若设 S的所有根为 R，则有以下推导过程，也就是说 E ′ E′ E′是 E E E的自同构。
E ′ = σ ( E ) = σ ( F ( R ) ) = F ( σ ( R ) ) = F ( R ) = E (1) E'=\sigma(E)=\sigma(F(R))=F(\sigma(R))=F(R)=E\tag{1} E′=σ(E)=σ(F(R))=F(σ(R))=F(R)=E(1)
只有自同构共轭的域叫自共轭域，像分裂域这种保持 F 不变的域被称为 F-自共轭域。以上结论证明了：多项式集合的分裂域是自共轭域。容易证明自同构和 F-自同构都形成群，其中自同构群记作 Aut(E)，F-自同构群又叫伽罗瓦群，一般记作 G a l ( E / F ) Gal(E/F) Gal(E/F)，这个群将是我们研究的重点。如果 E 是f ( x ) f(x) f(x) 在F F F 上的分裂域， G a l ( E / F ) Gal(E/F) Gal(E/F) 也叫多项式f ( x ) f(x) f(x) 的伽罗瓦群，记作 G a l ( f ) Gal(f) Gal(f)或 G a l ( f , F ) Gal(f,F) Gal(f,F)。
? 证明 Z , Q , R Z,Q,R Z,Q,R只有恒等自同构，而 C 的自同构有无穷多个。
F-自共轭域体现了扩域的唯一性，而另外我们知道，代数扩域可以从任何代数元的单扩域开始。考察 F-自共轭的扩域 E 中任意不可约多项式f ( x ) f(x) f(x)，如果它在 E 上有一个根 a，则 E 可以从 F ( a ) F(a) F(a)开始生成。前面的讨论中已知，它共轭于一个从 F ( a ′ ) F(a′) F(a′)生成的扩域（a′为 f ( x ) f(x) f(x)的另外一个根），由F-自共轭域的唯一性可知 a ′ ∈ E a′∈E a′∈E，故 f ( x ) f(x) f(x)在 E E E中是分裂的。对任意不可约多项式 f ( x ) ∈ F [ x ] f(x)∈F[x] f(x)∈F[x]，若它有根在扩域 E 中，必能得出其它根也在 E 中，这种扩域叫正规扩域（要注意，若 f ( x ) f(x) f(x)在 E E E没有根，并不意味 f ( x ) f(x) f(x)在 E E E中不可分解）。刚才的结论就是说F-自共轭域是正规扩域，还容易证明正规扩域可以看成是其所有可分裂多项式的生成域，结合前面的结论，以下三个命题是等价的（E为 F 的代数扩域）。
（1）E是F的正规扩张；
（2）E是F[x]中某个多项式集合的分裂域；
（3）E是F-自共轭域。
特别地，若扩张为有限扩张，则第二个命题可以改成某个多项式的分裂域。通过这些等价定义容易证明，正规扩张的交也是正规扩张。所有包含E的正规扩张的交被称为正规闭包，对有限扩张容易证明，生成元的最小多项式集合的分裂域便是正规闭包。
二、伽罗瓦理论 2.1 伽罗瓦群和固定子域
前面提到过，F-自同构群是自同构群 A u t ( E ) Aut(E) Aut(E)的子群，不同的子域F对应于不同的子群。这就提醒我们去研究这两者的关联，但要注意这里有两种关联方法，一种是由F确定伽罗瓦群 G a l ( E / F ) Gal(E/F) Gal(E/F)，另一种则是由 A u t ( E ) Aut(E) Aut(E)的子群 G G G确定一个子域 I n v ( G ) Inv(G) Inv(G)，它被称为 G 的固定子域。这两个映射不一定是相同的，至少还需要一些条件，这将是本节的重点。
Inv ( G ) = { a ∈ E ∣ σ ∈ G ? σ ( a ) = a } (2) \text{Inv}(G)=\{a\in E\mid \sigma\in G\Rightarrow\sigma(a)=a\}\tag{2} Inv(G)={a∈E∣σ∈G?σ(a)=a}(2)
先来看看这些映射的基本性质，首先比较显然，映射的像的包含关系都和原像的包含关系相反（公式（3），以下将 G a l ( E / F ) Gal(E/F) Gal(E/F)简写为 G a l ( F ) ） Gal(F)） Gal(F)）。另外也很容易证明，两种映射的复合将原像的范围放大了（公式（4））。对于像这样的复合运算，分别采用和两个视角，结合前面两个包含关系便容易得到复合运算的“消去律”（公式（5））。这些基本性质在下面的讨论中非常重要，你需要熟记于心并不产生混淆。
G 1 ? G 2 ? Inv ( G 1 ) ? Inv ( G 2 ) , F 1 ? F 2 ? Gal ( F 1 ) ? Gal ( F 2 ) (3) G_1\subseteq G_2\Leftrightarrow\text{Inv}(G_1)\supseteq\text{Inv}(G_2),\quad F_1\subseteq F_2\Leftrightarrow\text{Gal}(F_1)\supseteq\text{Gal}(F_2)\tag{3} G1??G2??Inv(G1?)?Inv(G2?),F1??F2??Gal(F1?)?Gal(F2?)(3) F ? Inv ° Gal ( F ) , G ? Gal ° Inv ( G ) (4) F\subseteq\text{Inv}\circ\text{Gal}(F),\quad G\subseteq \text{Gal}\circ\text{Inv}(G)\tag{4} F?Inv°Gal(F),G?Gal°Inv(G)(4) Gal ° Inv ° Gal ( F ) = Gal ( F ) , Inv ° Gal ° Inv ( G ) = Inv ( G ) (5) \text{Gal}\circ\text{Inv}\circ\text{Gal}(F)=\text{Gal}(F),\quad \text{Inv}\circ\text{Gal}\circ\text{Inv}(G)=\text{Inv}(G)\tag{5} Gal°Inv°Gal(F)=Gal(F),Inv°Gal°Inv(G)=Inv(G)(5)
2.2 伽罗瓦扩张和Artin定理
为了研究自同构子群和子域的关系，我们需要先对它们的特点做进一步研究。先来考察伽罗瓦群 G a l ( E / F ) Gal(E/F) Gal(E/F)，它的每个元素是一个F-自同构，群的阶就是自同构的个数。对有限扩域有 E = F ( a 1 , a 2 , ? ? , a n ) E=F(a_1,a_2,\cdots,a_n) E=F(a1?,a2?,?,an?)，所有的嵌入都可以拆分为一系列单扩域 f ( a 1 , ? ? , a k ? 1 ) ( a k ) f(a_1,\cdots,a_{k-1})(a_k) f(a1?,?,ak?1?)(ak?)的嵌入。之前的结论告诉我们，每个单扩域嵌入的个数 c k c_k ck?不大于 a k a_k ak?最小多项式 f ( x ) f(x) f(x)的次数 d k = [ F ( a 1 , ? ? , a k ) : F ( a 1 , ? ? , a k ? 1 ) ] d_k=[F(a_1,\cdots,a_k):F(a_1,\cdots,a_{k-1})] dk?=[F(a1?,?,ak?):F(a1?,?,ak?1?)]，相等的条件是 f ( x ) f(x) f(x)没有重根。如果还要求是自同构嵌入，则还要求 f ( x ) f(x) f(x)的根都在 E 中。
总嵌入的个数自然是∏ c k ? ∏ d k = [ E : F ] \prod c_k\leqslant\prod d_k=[E:F] ∏ck??∏dk?=[E:F]，伽罗瓦群的个数不大于总嵌入数，相等的条件是E是正规扩域。总结以上讨论便有公式（6）成立，而且等号的成立的一个充分条件是：E 既是正规扩域，又是可离扩域。这种可离正规扩张被称为伽罗瓦扩张，当然我们仅关注有限伽罗瓦扩张。
∣ Gal ( E / F ) ∣ ? [ E : F ] (6) \left|\text{Gal}(E/F)\right|\leqslant[E:F]\tag{6} ∣Gal(E/F)∣?[E:F](6)
现在反过来，对E自同构群的有限子群 G，考察 F = I n v ( G ) F=Inv(G) F=Inv(G)与 E E E的关系。如果 E 对 F 是有限扩张，由公式和容易得到 ∣ G ∣ ? ∣ Gal ( F ) ∣ ? [ E : F ] |G|\leqslant|\text{Gal}(F)|\leqslant[E:F] ∣G∣?∣Gal(F)∣?[E:F]。对此Artin却给出了截然相反的结论，他证明了 [ E : F ] ? ∣ G ∣ [E:F]\leqslant|G| [E:F]?∣G∣（这时E自然是F的有限扩张），结合这两点则恒有公式（7）成立。证明过程充分利用了扩域和自同构的性质，可以作为一个很好的例题示范，下面就来介绍其大致思路。
∣ G ∣ = [ E : Inv ( G ) ] (7) |G|=[E:\text{Inv}(G)]\tag{7} ∣G∣=[E:Inv(G)](7)
设 n = ∣ G ∣ n=|G| n=∣G∣，先来考察扩域 E 在 F 上的线性空间的维数，如果维数有限，取 m 大于该维数，则 E 中任何 m 个元素a i a_i ai? 都是线性相关的。精确一点描述便是，线性方程 ∑ i = 1 m a i x i = 0 , ( a i ∈ E ) \sum\limits_{i=1}^m{a_ix_i}=0,(a_i\in E) i=1∑m?ai?xi?=0,(ai?∈E)在F上总有非零解，现在我们就来证明 m > n m>n m>n时方程有解。为了联系上G，设它的 n 个元素是 σ j {σ_j} σj?，原方程等价于方程组 ∑ σ j ( a i x i ) = ∑ σ j ( a i ) x i = 0 \sum{\sigma_j(a_ix_i)}=\sum{\sigma_j(a_i)x_i}=0 ∑σj?(ai?xi?)=∑σj?(ai?)xi?=0在F上有解。由于 m > n m>n m>n，该方程组在 E 中必定有非零解，我们需要由此构造出 F 上的解。
将任意 σ k σ_k σk?作用在方程组上得 ∑ σ k σ j ( a i ) σ k ( x i ) = 0 \sum{\sigma_k\sigma_j(a_i)\sigma_k(x_i)}=0 ∑σk?σj?(ai?)σk?(xi?)=0，由于 ( σ k σ 1 , ? ? , σ k σ n ) (\sigma_k\sigma_1,\cdots,\sigma_k\sigma_n) (σk?σ1?,?,σk?σn?)只是 ( σ 1 , ? ? , σ n ) (\sigma_1,\cdots,\sigma_n) (σ1?,?,σn?)的一个置换，方程组除了顺序没有发生变化，故 ( σ k ( x 1 ) , ? ? , ( σ k ( x m ) ) (\sigma_k(x_1),\cdots,(\sigma_k(x_m)) (σk?(x1?),?,(σk?(xm?))也是是原方程组的解。因为 ( x 1 , ? ? , x m ) (x_1,\cdots,x_m) (x1?,?,xm?)非零，可设 x 1 ≠ 0 x_1≠0 x1??=0，则 x ˉ = ( 1 , x 2 ′ = x 2 x 1 , ? ? , x m ′ = x m x 1 ) \bar{x}=(1,x'_2=\dfrac{x_2}{x_1},\cdots,x'_m=\dfrac{x_m}{x_1}) xˉ=(1,x2′?=x1?x2??,?,xm′?=x1?xm??)也是方程组的解。若 x i ′ ∈ F x'_i\in F xi′?∈F都成立，我们的结论得证。否则设 x 2 ′ ∈? F x'_2\not\in F x2′??∈F，这就是说存在 σ k σ_k σk?使得 σ k ( x 2 ′ ) ≠ x 2 ′ \sigma_k(x'_2)\ne x'_2 σk?(x2′?)?=x2′?。由于 ( 1 , σ k ( x 2 ′ ) , ? ? , σ k ( x m ′ ) ) (1,\sigma_k(x'_2),\cdots,\sigma_k(x'_m)) (1,σk?(x2′?),?,σk?(xm′?))也是方程组的根，与 x ˉ \bar x xˉ相减便得另一个非零解 ( 0 , x 2 ′ ? σ k ( x 2 ′ ) , ? ? ) (0,x'_2-\sigma_k(x'_2),\cdots) (0,x2′??σk?(x2′?),?)，其中非零的元素个数比 x ˉ \bar x xˉ少。这个过程只能进行有限步，最终必定可以得到 F 上的非零解，Artin 定理得证。
? K为F的扩域， f ( x ) ∈ F [ x ] f(x)∈F[x] f(x)∈F[x]，求证： G a l ( f , F ) ? G a l ( f , K ) Gal(f,F)?Gal(f,K) Gal(f,F)?Gal(f,K)。
2.3 伽罗瓦理论
有了公式（6）和（7），现在回来讨论自同构子群和子域的关系，由于公式（6）等号成立的一个充分条件是伽罗瓦扩张，而伽罗瓦扩张不能处处成立，所以我们把研究限定在某个伽罗瓦扩张中。子域F对应一个它的伽罗瓦域 G = G a l ( E / F ) G=Gal(E/F) G=Gal(E/F)，反之G又对应到它的固定子域 F ′ = I n v ( G ) F′=Inv(G) F′=Inv(G)。现在来比较 [ E : F ] [E:F] [E:F]和 [ E : F ′ ] [E:F'] [E:F′]，根据公式和分别有 [ E : F ] = ∣ G ∣ [E:F]=|G| [E:F]=∣G∣和 [ E : F ′ ] = ∣ G ∣ [E:F']=|G| [E:F′]=∣G∣，而公式说明 F ? F ′ F?F' F?F′，所以有 F = F ′ F=F' F=F′，子域和自同构子群在有限伽罗瓦扩张上建立了对应。
若设 E , F E,F E,F的所有中间域 F ? F ′ ? E F?F'?E F?F′?E组成集合 Σ \Sigma Σ，容易证明 E 对Σ \Sigma Σ中的所有元素都是有限伽罗瓦扩张。若设 G 的所有子群构成集合Γ Γ Γ，则以上结论则建立了从 Σ Σ Σ到 Γ Γ Γ的单射 φ φ φ，它满足公式（8）。反之对任何 G ′ ∈ Γ G'∈Γ G′∈Γ，首先有 ∣ G ′ ∣ = [ E : I n v ( G ′ ) ] |G'|=[E:Inv(G')] ∣G′∣=[E:Inv(G′)]，而由公式（6）得 ∣ Gal ° Inv ( G ′ ) ∣ = [ E : Inv ( G ′ ) ] |\text{Gal}\circ\text{Inv}(G')|=[E:\text{Inv}(G')] ∣Gal°Inv(G′)∣=[E:Inv(G′)]，所以有 G ′ = Gal ° Inv ( G ′ ) = φ ( Inv ( G ′ ) ) G'=\text{Gal}\circ\text{Inv}(G')=\varphi(\text{Inv}(G')) G′=Gal°Inv(G′)=φ(Inv(G′))。这就说明了 φ φ φ是满射，从而便是一一映射，所有Σ和Γ之间存在一一映射，满足公式（8）。
φ ( F ′ ) = Gal ( E / F ′ ) , φ ? 1 ( G ′ ) = Inv ( G ′ ) (8) \varphi(F')=\text{Gal}(E/F'),\quad\varphi^{-1}(G')=\text{Inv}(G')\tag{8} φ(F′)=Gal(E/F′),φ?1(G′)=Inv(G′)(8)
根据 φ φ φ的定义，容易有公式（9）成立，其中 ∪ ∪ ∪表示生成群（域）。另外，由于 [ E : F ] = ∣ G ∣ [E: F]=|G| [E:F]=∣G∣, [ E : F ′ ] = ∣ G ′ ∣ [E:F']=|G'| [E:F′]=∣G′∣，则 [ F ′ : F ] = [ G : G ′ ] [F':F]=[G:G'] [F′:F]=[G:G′]（后者表示子群的指数）。看到这个式子，你可能会问一个问题：F′ 是伽罗瓦扩域与 G′ 是正规子群之间是不是有什么关联？容易验证，对任何σ ∈ G σ∈G σ∈G， σ G ′ σ ? 1 \sigma G'\sigma^{-1} σG′σ?1在映射φ φ φ中的原像为 σ ( F ′ ) σ(F') σ(F′)。所以G ′ G' G′ 为正规子群的等价条件是 σ ( F ′ ) = F ′ σ(F')=F' σ(F′)=F′，即 F ′ F' F′为正规扩域，再由 F ′ F' F′显然是分离扩域，故 G ′ G' G′为正规子群的等价条件是F ′ F' F′ 为伽罗瓦扩域。
F 1 ∩ F 2 = Inv ( G 1 ∪ G 2 ) , F 1 ∪ F 2 = Inv ( G 1 ∩ G 2 ) (9) F_1\cap F_2=\text{Inv}(G_1\cup G_2),\quad F_1\cup F_2=\text{Inv}(G_1\cap G_2)\tag{9} F1?∩F2?=Inv(G1?∪G2?),F1?∪F2?=Inv(G1?∩G2?)(9)

进一步地，设 H = Gal ( F ′ / F ) H=\text{Gal}(F'/F) H=Gal(F′/F)，构造同态映射 η : H → G \eta:H\to G η:H→G，使得 σ = η ( h ) \sigma=\eta(h) σ=η(h)满足 σ ( F ′ ) = F ′ \sigma(F')=F' σ(F′)=F′，显然同态核为 G ′ G' G′，从而 H 与G / G ′ G/G' G/G′ 同构（公式（10））。
Gal ( F ′ / F ) ? G / G ′ (10) \text{Gal}(F'/F)\cong G/G'\tag{10} Gal(F′/F)?G/G′(10)
三、经典应用 3.1 正多边形作图
正多边形作图同“三大作图难题”一样古老且著名，有时候它们一起并称为“四大作图难题”。首先容易证明，如果 p , q p,q p,q互质且正 p , q p,q p,q边形都可以作出，那么正 p q pq pq边形也可以作出。根据算术基本定理， n = 2 e p 1 e 1 ? p m e m n=2^{e}p_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m} n=2ep1e1???pmem??，而正 2 e 2^e 2e边形很容易作出，所以只需研究正 p k e k p_k^{e_k} pkek??边形的作图。
高斯在 20 岁时作出了正 17 边形，并给出了正 m 边形可作图的充要条件，这里我们用域的语言重新描述一下论证思路。要想作正p s p_s ps? 边形，其实就是作出 f ( x ) f(x) f(x) 的根ω ω ω（式（11））。显然 ω ω ω是 f ( x ) f(x) f(x)分裂域的生成元，即 E = Q ( ω ) E=Q(ω) E=Q(ω)。上一节的作图理论中我们知道， ω ω ω可被作图的充要条件是： [ E : Q ] = 2 t [E:Q]=2^t [E:Q]=2t。
f ( x ) = x p s ? 1 , ω = e 2 π p s i (11) f(x)=x^{p^s}-1,\quad\omega=e^{\frac{2\pi}{p^s}i}\tag{11} f(x)=xps?1,ω=eps2π?i(11)
由于 E 是一个分裂域，它是伽罗瓦扩张，所以有 [ E : Q ] = Gal ( E / Q ) [E:\Bbb{Q}]=\text{Gal}(E/\Bbb{Q}) [E:Q]=Gal(E/Q)。E 的 Q-自同构 σ σ σ由 σ ( ω ) σ(ω) σ(ω)唯一确定， σ ( ω ) σ(ω) σ(ω)只能取 ω k ω^k ωk，其中 ( k , p s ) = 1 (k,p^s)=1 (k,ps)=1。由初等数论的知识， k k k可取 φ ( p s ) = p s ? 1 ( p ? 1 ) \varphi(p^s)=p^{s-1}(p-1) φ(ps)=ps?1(p?1)个数，所以 2 t = p s ? 1 ( p ? 1 ) 2^t=p^{s-1}(p-1) 2t=ps?1(p?1)。首先有 s = 1 s=1 s=1，再由初等数论的知识，必须有 t = 2 n t=2^n t=2n，且 2 2 n + 1 2^{2^n}+1 22n+1为素数。
满足形式（12）的数叫费马数，以上结论就是说 p s p^s ps边形可作图的充要条件是： s = 1 s=1 s=1且p p p 为费马素数。那么n n n 边形可作图的条件就是式子（13），其中 p k p_k pk?为互异的费马素数。前 5 个费马数恰好是素数，费马当时断言所有费马数都是素数，但至今都还没有找到第6个费马素数。
F n = 2 2 n + 1 ( F 0 = 3 , ? F 1 = 5 , ? F 2 = 17 , ? F 3 = 257 , ? F 4 = 65537 , ? ? ? ) (12) F_n=2^{2^n}+1\quad (F_0=3,\,F_1=5,\,F_2=17,\,F_3=257,\,F_4=65537,\,\cdots)\tag{12} Fn?=22n+1(F0?=3,F1?=5,F2?=17,F3?=257,F4?=65537,?)(12)
m = 2 s p 1 p 2 ? p n , ? ( n ? 0 ) (13) m=2^sp_1p_2\cdots p_n,\:(n\geqslant 0)\tag{13} m=2sp1?p2??pn?,(n?0)(13)
3.2 多项式的求根
多项式求根是古代代数的重要内容，早在公元前的古巴比伦，人们就已经掌握了二次的方程的求根。而文艺复兴时期的意大利人，则给出了求解三、四次方程的一般方法和公式，主要的思想都是降次法。对于三次方程，先通过简单的代换 y = x + a 3 y=x+\dfrac{a}{3} y=x+3a?消除二次项（式（14）），然后利用立方和公式的形式特点将y y y 参数化 y = m 3 + n 3 y=\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n} y=3m ?+3n ?。由于 m , n m,n m,n可以连续变化，再添加限制条件 3 m n 3 = p 3\sqrt[3]{mn}=p 33mn ?=p，带入式便将原方程等价于较简单的方程组（15）。
x 3 + a x 2 + b x + c = 0 ? ? ? y 3 = p y + q (14) x^3+ax^2+bx+c=0\:\Rightarrow\: y^3=py+q\tag{14} x3+ax2+bx+c=0?y3=py+q(14) m n = ( p 3 ) 3 , m + n = q (15) mn=(\dfrac{p}{3})^3,\quad m+n=q\tag{15} mn=(3p?)3,m+n=q(15)
对于四次方程同样使用 y = x + a 4 y=x+\dfrac{a}{4} y=x+4a?消除三次项，然后引入参数t t t 并配方（式（16））。找到合适的 t t t使方程右侧可配方，这样四次方程就降为了二次方程。而配方成立时t满足一个三次方程，上面已经给出了它的求解方法，这样四次方程也成功求解。三、四次方程的完整公式十分复杂，这里就不给出了（也没必要）。
x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ? ? ? ( y 2 + t ) 2 = ( 2 t + p ) y 2 + q y + ( t 2 + r ) (16) x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\:\Rightarrow\: (y^2+t)^2=(2t+p)y^2+qy+(t^2+r)\tag{16} x4+ax3+bx2+cx+d=0?(y2+t)2=(2t+p)y2+qy+(t2+r)(16)
当人们迫不及待地向一般五次方程进军时，却发现无论如何都找不到求解公式。所谓“公式”就是四则运算和开方组成的表达式，为了利用扩域的理论，这里需要为开方定义一种的扩域。设 a ∈ F a∈F a∈F，代数闭包中 x n = a x^n=a xn=a的任一根记作 a n \sqrt[n]{a} na ?，单扩域 F ( a n ) F(\sqrt[n]{a}) F(na ?)称为根式扩张。多项式的根如果可用“公式”表示，就表示存在一个根式扩张链（式（17）），它们可包含分裂域 E。这样的多项式称为是根式可解的，我们问题就是：什么样的多项式根式求解？
F = F 0 ? F 1 ? ? ? F n = K , E ? K (17) F=F_0\leqslant F_1\leqslant\cdots\leqslant F_n=K,\quad E\subseteq K\tag{17} F=F0??F1????Fn?=K,E?K(17)
我们先对根式扩张作一些常规讨论，为下面的论证提供有用的工具，以下讨论默认扩域可离，所以分裂域都是伽罗瓦扩域。先来考虑方程 x n = 1 x^n=1 xn=1，它的根称为n n n 次单位根。在复数域中，所有单位根组成一个循环群，其中的生成元称为n n n 次本原根 （ ω ） （ω） （ω）。其实这个结论在一般域中也成立，因为 n = ∏ p k e k n=\prod{p_k^{e_k}} n=∏pkek??，所以我们只需找到 p e p^e pe次本原根即可。容易证明 ( x p e ? 1 ) / ( x p e ? 1 ? 1 ) = 0 (x^{p^e}-1)/(x^{p^{e-1}}-1)=0 (xpe?1)/(xpe?1?1)=0的根就是本原根，这样 x n ? 1 x^n?1 xn?1的分裂域其实就是 E = F ( ω ) E=F(ω) E=F(ω)。
F ( ω ) F(ω) F(ω)伽罗瓦群的每个元素由 σ ( ω ) = ω l , ( l , n ) = 1 \sigma(\omega)=\omega^l,(l,n)=1 σ(ω)=ωl,(l,n)=1唯一确定，且有到 Z n ? Z_n^{*} Zn??的单同态映射，所以是一个交换群，这样的扩张称为阿贝尔扩张。对于 x n = a x^n=a xn=a的根 d = a n d=\sqrt[n]{a} d=na ?，易知 d ω k dω^k dωk也是方程的根。为了同样使用单扩域表示分离域，事先假定 ω ∈ F ω∈F ω∈F，故 x n ? a x^n?a xn?a的分裂域为 F ( d ) F(d) F(d)。 F ( d ) F(d) F(d)伽罗瓦群的每个元素由 σ ( d ) = d ω l , ( l , n ) = 1 \sigma(d)=d\omega^l,(l,n)=1 σ(d)=dωl,(l,n)=1唯一确定，且有到 Z n + Z_n^{+} Zn+?的单同态映射，所以是一个循环群，这样的扩张称为循环扩张。
把目光专注在根式扩张 F ( d = a p ) F(d=\sqrt[p]{a}) F(d=pa ?)上，以上结论说明，当 ω ∈ F , d ∈? F \omega\in F,d\not\in F ω∈F,d?∈F时 G a l ( F ( d ) / F ) Gal(F(d)/F) Gal(F(d)/F)为 p 阶循环群。反之若G a l ( E ) Gal(E) Gal(E)为 p p p阶循环群 ? σ ? ?σ? ?σ?，取任一 c ∈ E ? F c∈E?F c∈E?F，记 c k = σ k ( c ) c_k=σ^k(c) ck?=σk(c)，构造如下 d k d_k dk?（式（18））。把它们看成是 c 0 , c 1 , ? ? , c p ? 1 c_0,c_1,\cdots,c_{p-1} c0?,c1?,?,cp?1?的方程组，由于范德蒙行列式（参考线性代数）非零，必有某个 d = d k ∈? F d=d_k\not\in F d=dk??∈F。另外可以验证 σ ( d p ) = σ ( d ) p = ( ω ? 1 d ) p = d p \sigma(d^p)=\sigma(d)^p=(\omega^{-1}d)^p=d^p σ(dp)=σ(d)p=(ω?1d)p=dp，故由伽罗瓦理论知 d p ∈ F d^p∈F dp∈F，所以 E 为根式扩张。总结以上便是，若 ω ∈ F ω∈F ω∈F，则根式扩张等价于 p p p阶循环扩张。
d k = c 0 + c 1 ω k + c 2 ω 2 k + ? + c p ? 1 ω ( p ? 1 ) k , k = 0 , 1 , ? ? , p ? 1 (18) d_k=c_0+c_1\omega^k+c_2\omega^{2k}+\cdots+c_{p-1}\omega^{(p-1)k},\quad k=0,1,\cdots,p-1\tag{18} dk?=c0?+c1?ωk+c2?ω2k+?+cp?1?ω(p?1)k,k=0,1,?,p?1(18)
现在就来讨论什么样的多项式是根式可解的，根式可解表示有根式扩张链 F = F 0 ? ? ? F n = K F=F_0\leqslant\cdots\leqslant F_n=K F=F0????Fn?=K。为了用上伽罗瓦理论，可以将其它根都添加到扩张链中，可以假设 K 已经是伽罗瓦扩张。为了使用上面的结论，令所有根数m k m_k mk?的最小公倍数为 m m m且 m m m次本原根为 ω ω ω，将链表中的每个扩域进行单扩张 F k ′ = F k ( ω ) F'_k=F_k(\omega) Fk′?=Fk?(ω)，显然 m k m_k mk?次本原根也在 F 中。新扩张链（式（19））的每一步都是伽罗瓦扩张，根据伽罗瓦理论知所有伽罗瓦群形成一个正规群列。又因为每个伽罗瓦群都是交换群，故 Gal ( K ( ω ) , F ) \text{Gal}(K(\omega),F) Gal(K(ω),F)为可解群，所以子群 G a l ( E , F ) Gal(E,F) Gal(E,F)也是可解群。
F ? F 0 ′ ? F 1 ′ ? ? ? F n ′ = K ( ω ) (19) F\leqslant F'_0\leqslant F'_1\leqslant\cdots\leqslant F'_n=K(\omega)\tag{19} F?F0′??F1′????Fn′?=K(ω)(19)
反之若 G a l ( E , F ) Gal(E,F) Gal(E,F)是可解群，取 [ E : F ] [E:F] [E:F]次本原根 ω ω ω，由前面的习题知 G a l ( E ( ω ) / F ( ω ) ) Gal(E(ω)/F(ω)) Gal(E(ω)/F(ω))是 G a l ( E / F ) Gal(E/F) Gal(E/F)的子群，故也是可解群。根据伽罗瓦理论知存在 F ( ω ) F(ω) F(ω)到 E ( ω ) E(ω) E(ω)伽罗瓦扩张链，每个扩张的伽罗瓦群都是素数阶循环群。再由上面的习题知每个伽罗瓦扩张的阶 m k m_k mk?都是 [ E : F ] [E:F] [E:F]的因子，故 m k m_k mk?阶本原根在 F ( ω ) F(ω) F(ω)中，所以每个扩张为根式扩张。由于 F ( ω ) F(ω) F(ω)也是根式扩张，故 E ( ω ) E(ω) E(ω)可由 F F F根式扩张而来，所以方程根式可解。
这就得到了伽罗瓦的天才的结论：多项式有根式解的充要条件是，它的伽罗瓦群为可解群。这个结论可以应用到任何一个具体的多项式，但方程的“公式”解其实是讨论参数化的一般多项式 f ( x ) f(x) f(x)（式（20）），其中 t k t_k tk?是不定元。方程的不变域是 F = Q ( t 1 , t 2 , ? ? , t n ) F=\Bbb{Q}(t_1,t_2,\cdots,t_n) F=Q(t1?,t2?,?,tn?)，而我们需要判断 f ( x ) f(x) f(x)在 F F F的伽罗瓦群是否可解。由于 t k t_k tk?可由 y k y_k yk?用基本不等式表示，故分裂域 F ( y 1 , y 2 , ? ? , y n ) = Q ( y 1 , y 2 , ? ? , y n ) F(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\Bbb{Q}(y_1,y_2,\cdots,y_n) F(y1?,y2?,?,yn?)=Q(y1?,y2?,?,yn?)。
f ( x ) = x n ? t 1 x n ? 1 + t 2 x n ? 2 + ? + ( ? 1 ) n t n , t k = σ k ( y 1 , y 2 , ? ? , y n ) (20) f(x)=x^n-t_1x^{n-1}+t_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^nt_n,\quad t_k=\sigma_k(y_1,y_2,\cdots,y_n)\tag{20} f(x)=xn?t1?xn?1+t2?xn?2+?+(?1)ntn?,tk?=σk?(y1?,y2?,?,yn?)(20)
g ( x ) = x n ? p 1 x n ? 1 + p 2 x n ? 2 + ? + ( ? 1 ) n p n , p k = σ k ( x 1 , x 2 , ? ? , x n ) (21) g(x)=x^n-p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^np_n,\quad p_k=\sigma_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)\tag{21} g(x)=xn?p1?xn?1+p2?xn?2+?+(?1)npn?,pk?=σk?(x1?,x2?,?,xn?)(21)
但由于 y k y_k yk?的值和相互关系是从 t k t_k tk?得来， f ( x ) f(x) f(x)的伽罗瓦群并不好分析。我们更希望 y k y_k yk?是独立的不变元，为此我们用不定元 x k x_k xk?建立多项式 g ( x ) g(x) g(x)（式（21）），其系数 p k p_k pk?为 x k x_k xk?的基本不等式（pk不是不定元）。同样可有这个方程的不变域为 Q ( p 1 , p 2 , ? ? , p n ) \Bbb{Q}(p_1,p_2,\cdots,p_n) Q(p1?,p2?,?,pn?)，扩域为 Q ( x 1 , x 2 , ? ? , x n ) \Bbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n) Q(x1?,x2?,?,xn?)。可以论证（略去）这两个多项式的伽罗瓦群是同构的（式（22）），而后者同构于 S n S_n Sn?（ x k x_k xk?为不定元），所以 f ( x ) f(x) f(x)有 n n n个不同的根。再由于 n ? 5 n?5 n?5时， S n S_n Sn?不是可解群，故 f ( x ) f(x) f(x)不能公式求解。
Q ( y 1 , y 2 , ? ? , y n ) / Q ( t 1 , t 2 , ? ? , t n ) ? Q ( x 1 , x 2 , ? ? , x n ) / Q ( p 1 , p 2 , ? ? , p n ) (22) \Bbb{Q}(y_1,y_2,\cdots,y_n)/\Bbb{Q}(t_1,t_2,\cdots,t_n)\cong \Bbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)/\Bbb{Q}(p_1,p_2,\cdots,p_n)\tag{22} Q(y1?,y2?,?,yn?)/Q(t1?,t2?,?,tn?)?Q(x1?,x2?,?,xn?)/Q(p1?,p2?,?,pn?)(22)
【计算数学与数学理论|【抽象代数】伽罗瓦理论简介】到这里关于抽象代数的知识，我们就介绍到这儿了。关于更加高阶的代数学知识就不涉猎了。抽象代数是近代数学的基石，它有着十分广博的内容和无限的智慧，学习它的最终目的，是锻炼我们的抽象思维和科学的数学观。带着这样的熏陶去学习别的科目，你会有不一样的高度，对事物的认识不再浮于表面。

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