字符串最短编辑距离问题算法

问题：

设 A 和 B 是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串 A 转换为字符串 B 。这里所说的字符操作共有三种：

删除一个字符；

插入一个字符；

将一个字符改为另一个字符。

对任给的两个字符串 A 和 B ，计算出将字符串 A 变换为字符串 B 所用的最少字符操作次数。

样例：

2 bcodeqwrty bdq baician bczdd

输出：

7 5

这个问题本质上是一个无向图的问题，固定了起点和终点，起点为字符串 A ，终点为字符串 B 。但是每一个点所对应的分支太多。所以我们需要对其进行转化。
在以下特殊情况下，最短编辑距离容易求出：

当 A 、 B 的长度都为 0 时，最短编辑距离为 0
当 A 的长度为 0 ， B 的长度不为 0 ，最短编辑距离为 A 的长度
当 A 的长度不为 0 ， B 的长度为 0 ，，最短编辑距离为 B 的长度

我们可以将所有的字符串转化为以上的三种情况。
可以尝试使用动态规划来解决。动态规划对于有向无环图比较合适，如果我们只对字符串 A 、 B 的最后一个字符做操作，而且将“增删改”变为“删改”，那么无向图就变成了有向无环图。
使用动态规划，首先需要定义状态。我们可以把 A,B 变换成的子串的长度( i , j ) (i,j) (i,j) 看成一个状态，然后定义状态( i , j ) (i,j) (i,j) 的指标函数d ( i , j ) d(i,j) d(i,j) 为( i , j ) (i,j) (i,j) 变为相同子串所需的最小编辑次数。
然后观察不同状态之间是如何转移的，从状态( i , j ) (i,j) (i,j) 出发有三种决策，分别对应题目中所给出的三种字符操作（三种字符操作都是对最后一个字符的操作）。

删除一个字符 ==> 删除 A 字符串的最后一个字符，转移到了( i ? 1 , j ) (i-1,j) (i?1,j)

插入一个字符 ==> 在 A 字符串末尾插入 B 字符串的一个字符，相当于 B 字符串删除一个字符，转移到了( i , j ? 1 ) (i,j-1) (i,j?1)

将一个字符改为另一个字符。 ==> 将 A 的最后一个字符改为 B 的最后一个字符，将状态转移到了( i ? 1 , j ? 1 ) (i-1,j-1) (i?1,j?1)

则状态转移方程为：
d ( i , j ) = m i n { d ( i ? 1 , j ) + 1 , d ( i , j ? 1 ) + 1 , d ( i ? 1 , j ? 1 ) + c } d(i,j)=min \{d(i-1,j)+1,d(i,j-1)+1,d(i-1,j-1)+c\} d(i,j)=min{d(i?1,j)+1,d(i,j?1)+1,d(i?1,j?1)+c}
式中，当子串的最后一个字符相同时， AB 的最小编辑距离与 AB 都去掉最后一个字母的最小编辑距离相同，所以c = 0 c=0 c=0 ，否则c = 1 c=1 c=1 。
【字符串最短编辑距离问题】完整程序：

//#define LOCAL #include #include #include #include #include using namespace std; const int maxn = 1000 + 2; char a[maxn]; char b[maxn]; int step[maxn][maxn]; int findStep(int i, int j) { int &ans = step[i][j]; if (ans != -1) { return ans; } if (i == 0 && j == 0) { return ans = 0; } if (i == 0) { return ans = j; } else if (j == 0) { return ans = i; } int c; if (a[i - 1] != b[j - 1]) { c = 1; } else { c = 0; } ans = min(min(findStep(i - 1, j) + 1, findStep(i, j - 1) + 1), findStep(i - 1, j - 1) + c); return ans; }int main() { #ifdef LOCAL freopen("data.in", "r", stdin); freopen("data.out", "w", stdout); #endif // LOCAL int n; int m1, n1; while (cin >> n && n) {for (int j = 0; j < n; j++) { memset(step, -1, sizeof(step)); cin >> a >> b; cout << strlen(a) << " " << strlen(b) << endl; m1 = strlen(a); n1 = strlen(b); cout << findStep(m1, n1) << endl; } } return 0; }