R语言中的多项式回归、局部回归、核平滑和平滑样条回归模型数据挖掘深度学习人工智能算

原文链接：http://tecdat.cn/?p=20531 原文出处：拓端数据部落公众号 ===
在标准线性模型中，我们假设
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。当线性假设无法满足时，可以考虑使用其他方法。

多项式回归

扩展可能是假设某些多项式函数，

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同样，在标准线性模型方法（使用GLM的条件正态分布）中，参数

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可以使用最小二乘法获得，其中

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在

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。
即使此多项式模型不是真正的多项式模型，也可能仍然是一个很好的近似值

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。实际上，根据 Stone-Weierstrass定理，如果

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在某个区间上是连续的，则有一个统一的近似值

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，通过多项式函数。
仅作说明，请考虑以下数据集

db = data.frame(x=xr,y=yr) plot(db)

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与标准回归线

reg = lm(y ~ x,data=https://www.it610.com/article/db) abline(reg,col="red")

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考虑一些多项式回归。如果多项式函数的次数足够大，则可以获得任何一种模型，

reg=lm(y~poly(x,5),data=https://www.it610.com/article/db)

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但是，如果次数太大，那么会获得太多的“波动”，

reg=lm(y~poly(x,25),data=https://www.it610.com/article/db)

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并且估计值可能不可靠：如果我们更改一个点，则可能会发生（局部）更改

yrm=yr; yrm\[31\]=yr\[31\]-2 lines(xr,predict(regm),col="red")

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局部回归

实际上，如果我们的兴趣是局部有一个很好的近似值

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，为什么不使用局部回归？
使用加权回归可以很容易地做到这一点，在最小二乘公式中，我们考虑

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在这里，我考虑了线性模型，但是可以考虑任何多项式模型。在这种情况下，优化问题是

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可以解决，因为

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例如，如果我们想在某个时候进行预测，考虑

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。使用此模型，我们可以删除太远的观测值，

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更一般的想法是考虑一些核函数

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给出权重函数，以及给出邻域长度的一些带宽（通常表示为h），

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这实际上就是所谓的 Nadaraya-Watson 函数估计器

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。
在前面的案例中，我们考虑了统一核

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，
但是使用这种权重函数具有很强的不连续性不是最好的选择，尝试高斯核，

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这可以使用

w=dnorm((xr-x0)) reg=lm(y~1,data=https://www.it610.com/article/db,weights=w)

在我们的数据集上，我们可以绘制

w=dnorm((xr-x0)) plot(db,cex=abs(w)*4) lines(ul,vl0,col="red") axis(3) axis(2) reg=lm(y~1,data=https://www.it610.com/article/db,weights=w) u=seq(0,10,by=.02) v=predict(reg,newdata=data.frame(x=u)) lines(u,v,col="red",lwd=2)

在这里，我们需要在点2进行局部回归。下面的水平线是回归（点的大小与宽度成比例）。红色曲线是局部回归的演变

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让我们使用动画来可视化曲线。
但是由于某些原因，我无法在Linux上轻松安装该软件包。我们可以使用循环来生成一些图形

name=paste("local-reg-",100+i,".png",sep="") png(name,600,400) for(i in 1:length(vx0)) graph (i)

然后，我使用

当然，可以考虑局部线性模型，

return(predict(reg,newdata=https://www.it610.com/article/data.frame(x=x0)))}

甚至是二次（局部）回归，

lm(y~poly(x,degree=2), weights=w)

当然，我们可以更改带宽

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请注意，实际上，我们必须选择权重函数（所谓的核）。但是，有（简单）方法来选择“最佳”带宽h。交叉验证的想法是考虑

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是使用局部回归获得的预测。
我们可以尝试一些真实的数据。

library(XML) data = https://www.it610.com/article/readHTMLTable(html)

整理数据集，

plot(data$no,data$mu,ylim=c(6,10)) segments(data$no,data$mu-1.96*data$se,

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我们计算标准误差，反映不确定性。

for(s in 1:8){reg=lm(mu~no,data=https://www.it610.com/article/db, lines((s predict(reg)/[1:12/]

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所有季节都应该被认为是完全独立的，这不是一个很好的假设。

smooth(db$no,db$mu,kernel = "normal",band=5)

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我们可以尝试查看带宽较大的曲线。

db$mu\[95\]=7plot(data$no,data$mulines(NW,col="red")

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样条平滑接下来，讨论回归中的平滑方法。假设

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，

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是一些未知函数，但假定足够平滑。例如，假设

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是连续的，

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存在，并且是连续的，

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存在并且也是连续的等等。如果

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足够平滑，可以使用泰勒展开式。因此，对于

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也可以写成

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第一部分只是一个多项式。
使用黎曼积分，观察到

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因此，

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我们有线性回归模型。一个自然的想法是考虑回归

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，对于

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给一些节点

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。

plot(db)

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如果我们考虑一个节点，并扩展阶数1，

B=bs(xr,knots=c(3),Boundary.knots=c(0,10),degre=1) lines(xr\[xr<=3\],predict(reg)\[xr<=3\],col="red") lines(xr\[xr>=3\],predict(reg)\[xr>=3\],col="blue")

可以将用该样条获得的预测与子集（虚线）上的回归进行比较。

lines(xr\[xr<=3\],predict(reg)\[xr<=3lm(yr~xr,subset=xr>=3)

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这是不同的，因为这里我们有三个参数（关于两个子集的回归）。当要求连续模型时，失去了一个自由度。观察到可以等效地写

lm(yr~bs(xr,knots=c(3),Boundary.knots=c(0,10)

回归中出现的函数如下

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现在，如果我们对这两个分量进行回归，我们得到

matplot(xr,Babline(v=c(0,2,5,10),lty=2)

【R语言中的多项式回归、局部回归、核平滑和平滑样条回归模型】如果加一个节点，我们得到

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预测是

lines(xr,predict(reg),col="red")

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我们可以选择更多的节点

lines(xr,predict(reg),col="red")

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我们可以得到一个置信区间

polygon(c(xr,rev(xr)),c(P\[,2\],rev(P\[,3\]))points(db)

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如果我们保持先前选择的两个节点，但考虑泰勒的2阶的展开，我们得到

matplot(xr,B,type="l") abline(v=c(0,2,5,10),lty=2)

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如果我们考虑常数和基于样条的第一部分，我们得到

B=cbind(1,B) lines(xr,B\[,1:k\]%*%coefficients(reg)\[1:k\],col=k-1,lty=k-1)

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如果我们将常数项，第一项和第二项相加，则我们得到的部分在第一个节点之前位于左侧，

k=3 lines(xr,B\[,1:k\]%*%coefficients(reg)\[1:k\]

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通过基于样条的矩阵中的三个项，我们可以得到两个节点之间的部分，

lines(xr,B\[,1:k\]%*%coefficients(reg)\[1:k\]

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最后，当我们对它们求和时，这次是最后一个节点之后的右侧部分，

k=5

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这是我们使用带有两个（固定）节点的二次样条回归得到的结果。可以像以前一样获得置信区间

polygon(c(xr,rev(xr)),c(P\[,2\],rev(P\[,3\]))points(db) lines(xr,P\[,1\],col="red")

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使用函数

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，可以确保点的连续性

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。

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再一次，使用线性样条函数，可以增加连续性约束，

lm(mu~bs(no,knots=c(12*(1:7)+.5),Boundary.knots=c(0,97),lines(c(1:94,96),predict(reg),col="red")

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但是我们也可以考虑二次样条，

abline(v=12*(0:8)+.5,lty=2)lm(mu~bs(no,knots=c(12*(1:7)+.5),Boundary.knots=c(0,97),

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