本文为万向区块链技术中心研究组撰写，文章尝试对PBFT算法的正确性证明以及算法优化等内容作一个介绍。
1. PBFT算法正确性证明 本部分介绍PBFT算法的正确性证明。
1.1 安全性（Safety）证明 PBFT算法提供的安全性（safety）的具体含义是，对于所有本地确认（commit locally）的客户端请求来说，系统中所有正常副本节点都会就这些请求的消息序号达成一致。
上述的“达成一致”，其含义又分为两种：
同一视图中的消息序号一致：对于所有在同一视图中本地确认的客户端请求来说，各正常副本节点就其消息序号会达成一致。
新旧视图中的消息序号一致：对于在新旧视图中本地确认的客户端请求来说，各正常副本节点就其消息序号会达成一致。
接下来分别证明上述两种“一致”是成立的。
1. 在同一视图中，任何一个请求 m ，如果其已经本地确认过，也就是说，至少对于某一个正常副本节点 i 来说，prepared(m, v, n, i) 为 true , 之前已经证明过，此时，对于任意的正常副本节点 j （j也可以是 i） 来说，prepared(m’, v, n, j) 都为 false 。这里 m’ 是不同于 m 的另一个请求，也就是说 D(m’) 不等于 D(m) 。这就意味着对于所有在同一视图中本地确认的客户端请求来说，各正常副本节点就其消息序号会达成一致，第一个性质成立。
2. 现在考虑存在视图变更的情况。首先，在视图 v 中，对于任意一个请求 m 来说，如果其在 某个正常副本节点 i 完成了本地确认，假设其消息序号为 n 。那么，就有 committed(m, v, n) 为 true 。 这也意味着存在一个节点集合R1, 其中至少含有 f+1 个正常副本节点，并且对于其中每一个节点 i ，prepared(m, v, n, i) 为 true。
然后，考虑系统最终变更视图到 v' 的情况。在从视图 v 变更到 v' 的过程中，此时变更没有完成，正常副本节点在接收到 new-view 消息之前，不会接受视图 v' 上的预准备消息。
但是，对于视图 v 变更到 v'的任意一个有效的 new-view 消息来说，其中包含 2f+1 个有效的view-change 消息。这些消息来自不同的副本节点，记它们组成的集合为R2。R1和R2至少有一个相同的元素，也就是相同的节点。不然的话，它们总的节点个数将为(f+1) + (2f+1) = 3f+2，这与我们假定的系统总节点个数 3f+1 不符。
因此，假设这个共同的正常副本节点为 k 。对于请求 m 来说，只有可能存在下面两种情况：new-view 消息中，存在 view-change 消息，其中包含的最新稳定检查点对应的消息序号大于 m 的序号 n 。new-view 消息中所有的 view-change 消息中包含的最新稳定检查点对应的消息序号不大于m的序号n。
对于第一种情况，根据视图变更协议，新视图 v' 中，所有正常副本节点不会接受序号为n或小于n的消息。
对于第二种情况，m 将会被传播到新视图 v'中，因为根据视图变更协议，min-s≤n。视图变更完成后，在 v' 中，算法将针对编号为 n 的请求 m 重新运行三阶段协议。这就使得所有正常副本节点会达成一致，而不会出现下面这种情况：
另一个不同于 m 的请求 m' ， 其在视图 v 中分配的序号为 n ，且在新视图中 v' 完成本地确认。
综合上面 1 和 2 的证明，就证明了算法在同一视图和视图变更过程中，都会保证本地确认的请求的序号在所有正常副本节点中会达成一致，从而保证了算法的安全性（safety）。
1.2 活性（Liveness）保证 对于PBFT算法来说，为了保证系统的活性（liveness），当节点无法执行客户端请求时，需要变更到新的视图。同时，视图变更也需要进行合理控制，只在需要时才进行，否则频繁的视图变更会影响到系统的活性。这就需要保证以下两点：
系统中至少 2f+1 个正常副本节点处于同一视图中时，这种状态尽可能长时间地保持；
每次视图变更时，上述时间间隔需要快速增长，比如以指数形式增长。
PBFT算法通过如下三种方法来保证上述两点：
1. 为了防止视图变更太快开始，当一个节点发送 view-change 消息后，在等待接收 2f+1 个 view-change消息时，会同时启动定时器，其超时时间设置为 T。如果视图变更没有在 T 时间内完成，或者在新视图中请求没有在该时间间隔内完成，则会触发新的视图变更。此时，算法会调整超时时间，将其设置为原来的两倍，即 2T 。
2. 除了上述的定时器超时触发节点发送 view-change 消息外，当其接收到来自 f+1 个不同节点的有效view-change 消息，并且变更的目标视图大于节点当前视图时，也会触发节点发送 view-change 消息。这可以防止节点过晚启动视图变更。
3. 基于上述第二点的规则，失效节点无法通过故意发送 view-change 消息来触发频繁的视图变更从而干扰系统的运行。因为失效节点最多只能发送 f 条消息，达不到 f+1 的触发条件。失效节点是主节点时，可能会触发视图变更，但是连续的视图变更最多只会是 f 个，之后主节点就是正常节点。因此，基于以上的规则，系统可以保证活性。
2. PBFT算法的优化 本部分介绍PBFT算法的优化。这些优化方式应用于算法的正常操作中，可以提升算法的性能，同时可以保持系统的安全性和活性。
2.1 减少系统通信量 可以采用三种方法减少系统通信量：
1. 向客户端发送回复的消息摘要，而不是回复的原始内容客户端指定一个特定的副本节点，从该节点接收完整的回复内容，而只从其他所有节点处接收回复的摘要。通过判读摘要与回复的一致性以及对回复计数，可以确保接收到正确的回复。如果客户端接收不到正确结果，就会按正常流程重新请求系统，并接收不同节点的完整回复。
2. 请求在副本节点prepared后，节点即试探性地执行请求，并发送结果。客户端只要收到 2f+1 个匹配的结果，就可以确保该结果的正确性。也就是说，该请求最终会确认（至少f+1 个正常副本节点的本地确认）。如果客户端无法得到正确结果，就重新发送请求，系统执行正常流程。一个被试探性执行的请求，有可能在视图变更过程中被中断，并被替换为一个空请求。此时，已经执行过请求的节点可以通过 new-view 消息中的最新的稳定检查点或本地的检查点来更新状态（取决于哪个序号更大）。
3. 针对只读操作，客户端将请求广播到每一个副本节点。各节点判断请求确实为只读且满足条件后，直接执行请求，并发送回复到客户端。客户端收到 2f+1 个相同的回复，即为正确结果；否则客户端之前设置的重发请求定时器将触发超时，使得客
户端重发请求，系统执行正常流程。
这种优化的前提条件是，副本节点在执行请求之前，需确保之前所有请求都已确认，并且被执行。
2.1 加快消息验证速度 使用公钥签名的方式验证消息存在如下不足：
类似于RSA这样的签名算法，签名速度比较慢；
其他公钥密码系统，如椭圆曲线公钥密码系统，虽然签名更快，但是验签更慢。
PBFT算法实际上在正常流程中采用 MAC(Message Authentication Code，消息验证码) 认证消息，因为它具有如下优点，使得算法相对于之前的算法性能提升了一个数量级以上：
MAC 计算速度快；
通过适当优化，可以减少其长度；
通过对authenticator（vector of MAC）的使用，可以使验证时间为常量，而生成时间只随着节点数量线性增长。
具体来说，PBFT算法中使用 MAC 和公钥签名的具体场景是：
所有正常操作流程中使用 MAC 验证消息；
视图变更中的消息：view-change, new-view，以及出现错误时，使用公钥签名。这些场景的出现频率相
对较低，从而对算法的性能影响较小。
相关阅读：
PBFT算法流程
【区块链|PBFT算法流程补充（二）（算法正确性证明及优化）】PBFT算法流程补充（一）：视图变更、垃圾回收及状态机不确定性
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