数据挖掘|数据挖掘 - 低秩矩阵恢复与非负矩阵分解数据挖掘|推荐系统

【数据挖掘|数据挖掘 - 低秩矩阵恢复与非负矩阵分解】1. 低秩矩阵恢复
低秩矩阵恢复主要应用于推荐算法，对矩阵中的未评分位置进行评分。具体原理推导见这里吧：http://download.csdn.net/download/zk_j1994/9983147

代码：

# -*- coding: utf-8 -*- """ 基于矩阵分解的推荐算法1. 使用梯度下降进行迭代更新; """ import numpy as np import matplotlib.pyplot as pltnp.random.seed(1)def load_data(): data = https://www.it610.com/article/[[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5], [0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3], [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0], [3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0], [5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0], [4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1], [0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4], [0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2], [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0], [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]] return np.array(data)def gradAscent(data, K, max_iter, alpha, beta):""" 梯度下降更新P, Q矩阵的元素, 使均方误差最小 """ if not isinstance(data, np.matrix): data = https://www.it610.com/article/np.mat(data)# 初始化P, Q矩阵 n, m = data.shape P = np.mat(np.random.random((n, K))) Q = np.mat(np.random.random((K, m))) print("\nP = \n{0}".format(P)) print("\nQ = \n{0}".format(Q))loss_list = [] _iter = 0 while _iter < max_iter: # 更新P, Q中的每一个元素 for i in range(n): for j in range(m): if data[i, j] > 0: error = (data[i, j] - P[i, :] * Q[:, j])[0, 0]# (i, j)处的误差 for k in range(K): P[i, k] = P[i, k] + alpha * (2 * error * Q[k, j] - beta * P[i, k]) Q[k, j] = Q[k, j] + alpha * (2 * error * P[i, k] - beta * Q[k, j])# 计算原矩阵和恢复矩阵之间的误差 loss = 0 for i in range(n): for j in range(m): if data[i, j]> 0: for k in range(K): loss += P[i, k] * Q[k, j] loss = np.sum(abs(data[i, j] - loss))loss_list.append(loss) if loss <= 1e-3: break _iter += 1 return P, Q, loss_listdef draw_loss(loss): plt.plot(range(len(loss)), loss) plt.show()if __name__ == "__main__": data = https://www.it610.com/article/load_data()P, Q, loss = gradAscent(data, 5, 20000, 0.0002, 0.02)print("\n恢复矩阵 = \n{0}".format(P * Q)) draw_loss(loss)

loss下降过程：

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2. 非负矩阵分解
非负矩阵分解与低秩矩阵恢复类似，他们的三个矩阵的元素都要求非负。不同的是低秩矩阵恢复是预测原矩阵中为0的位置；而非负矩阵分解认为原矩阵是完整的。假设原矩阵R（n * m） = M（n*k） x N（k*m）；非负矩阵的应用主要有：
2.1 文本挖掘
假设文本矩阵为n * m，即n篇文章，m个单词，其中的元素为单词出现的次数。将矩阵分解之后，k即为特征的个数或者说主题的个数。在M中我们容易得出每篇文章最重要的几个主题；而在N中我们容易得出每个主题最重要的一些单词。

# -*- coding: utf-8 -*- """ 非负矩阵分解用于 - 主题模型使用了一种很奇特的算法: 乘法更新法则恢复原矩阵""" import numpy as npnp.random.seed(1)def _cal_diff(matrix, recover): """ 计算重构矩阵与原矩阵之间的误差 recover: 重构矩阵 """ return abs(matrix - recover).sum()def factorize(m, fea_num = 6, _iter = 2000): """ 对矩阵进行分解, 重构 m: 一行代表一篇文章, 一列代表一个单词; fea_num: 为当前matrix寻找feature的个数; 该算法的核心 - 四个矩阵 hn = w' * m hd = w' * w * feature """ if not isinstance(m, np.matrix): m = np.matrix(m) print("请确保输入m是一个行为文章, 列为单词的矩阵.")# 1. 随机初始化权重矩阵和特征矩阵 weight = np.matrix(np.random.random((m.shape[0], fea_num))) feature = np.matrix(np.random.random((fea_num, m.shape[1])))# 2. 循环更新矩阵 for i in range(_iter): # 2.1 计算重构矩阵和原矩阵的误差 lose = _cal_diff(m, weight * feature) if i % 10 == 0: print("\n原矩阵与重构矩阵之间的lose = {0}".format(lose)) if lose <= 1e-3: return weight, feature# 2.2 更新特征矩阵 hn = weight.T * m; hd = weight.T * weight * feature feature = np.matrix(np.array(feature) * np.array(hn) / np.array(hd))# 2.3 更新权重矩阵 wn = m * feature.T; wd = weight * feature * feature.T weight = np.matrix(np.array(weight) * np.array(wn) / np.array(wd)) return weight, featureif __name__ == "__main__":# 1. 文本寻找主题 data = https://www.it610.com/article/[[0, 0, 0, 0, 2, 4, 0, 0, 3, 0, 5], [0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3], [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0], [3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0], [5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0], [4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1], [0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4], [0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2]]weight, feature = factorize(data, 3)recover = np.mat(weight) * np.mat(feature)""" 对第0篇文章进行分析:第0篇文章在7个特征(主题)上的权重weight[0,:] = [0.009, 2.817, 0.589, 0, 0, 0, 0] 我们又容易从feature矩阵中获取每个特征中, 每个单词的重要性。因此我们可以为第0篇文章选出2个最大的特征, 每个特征我们取3个最重要的单词: 2.817:[第10个单词, 第5个单词, 第8个单词] 0.589:[第4个单词, 第9个单词, 第5个单词]这两个特征极有可能代表两个不同的主题, 但这篇文章主要和2.817那个特征(主题相关) """# 2. 数据降维 data = https://www.it610.com/article/[[5, 5, 3, 0, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 4, 1, 3, 4, 5], [5, 0, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 1, 2, 4, 4, 3, 4, 0], [0, 3, 0, 5, 4, 5, 0, 4, 4, 5, 3, 0, 0, 0, 0], [5, 4, 3, 3, 5, 5, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 0, 2, 4], [5, 4, 3, 3, 5, 5, 3, 3, 3, 4, 5, 0, 5, 2, 4], [5, 4, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 2, 5], [5, 4, 3, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0], [5, 4, 3, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1], [5, 4, 3, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2], [5, 4, 3, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1]]# 2.1 sklearn数据压缩 from sklearn.decomposition import NMF Model = NMF(n_components=2) W = Model.fit_transform(data)""" NMF用于数据降维weight就是降维结果, 其次NMF还可以用于图像无损压缩等等, 节约存储空间; """# 3. 总结 # 其实文本寻找主题也是一个降维的过程, 将一个含有数千个单词的文章进行维度约简, 留下少量单词代表文章主题

3. 注意
显然K越大，则P，Q矩阵更为复杂，能够更好地拟合原矩阵，但也容易导致过拟合；而K越小，则P,Q更简单，模型更精简。
同时，对于非负矩阵分解而言，k的大小决定了所有文章能生成多少个主题，一般根据经验决定，或者尝试调节k的大小。

参考文献
http://m.blog.csdn.net/winone361/article/details/50705739

https://wenku.baidu.com/view/7bbaf0739b6648d7c1c74687#28

http://blog.csdn.net/google19890102/article/details/51124556