我们讨论一般函数 f:A?Rn→Rm 的泰勒公式，为此我们首先讨论高阶导数。对于 f:Rn→R ，定义高阶偏导没有问题；我们仅仅迭代偏导的过程
?2f?x1?x2=??x1(??x2f)
然而，将导数看做线性映射时需要非常小心。
如果二阶导存在的话，可以通过对 Df 求导获得，过程如下。
定义4令 L(Rn,Rm) 表示从 Rn 到 Rm 的线性映射空间，(如果我们在 Rn ， Rm 中选择一个基，那么 L(Rn,Rm) 等同于 m×n 矩阵)接下里 Df:A→L(Rn,Rm) ；即对每个 x∈A 我们得到一个线性映射 Df(x0) 。如果我们在 x0 处对 Df 求导，我们就得到从 Rn 到 L(Rn,Rm) 的线性映射，写作 D(Df(x0))=D2f(x0) 。我们将 Bx0:Rn×Rn→Rm 定义成 Bx0(x1,x2)=[D2f(x0)(x1)](x2)
因为 D2f(x0):Rn→L(Rn,Rm) ，上面的定义讲得通，所以 D2f(x0)(x1)∈L(Rn,Rm) ；因此它能够用到 x2 上。我们这么做的原因是 Bx0 避免不必要的使用较难的空间 L(Rn,Rm)≈Rnm 。
根据定义，双线性(bilinear)映射 B:E×F→G ，其中 E,F,G是向量空间，就是每个变量都是线性的映射；例如对第一个变量，也就是说 B(αe1+βe2,f)=αB(e1,f)+βB(e2,f) ，其中 e1,e2∈E,f∈F,α,β∈R ，上面定义的映射 Bx0 很容易看成 Rn×Rn→Rm 的一个双线性映射。
接下来，对于双线性映射 B:E×F→R ，我们可以将每个 E 的基 e1,…,en 和 F 的 f1,…,fm 与一个矩阵关联起来，即令
aij=B(ei,fj)
那么如果
x=∑i=1nxieiy=∑j=1myjfj
我们有
B(x,y)=∑ijaijxiyj=(x1,x2,…,xn)????????a11???an1?a1m???anm????????????????y1???ym????????
注意：对于二阶导数，双线性映射 Bx0 在 x0 处对 Df 的求导依然写成 D2(f) 。
定理8令 f:A?Rn→R 在开集 A 上二阶可导，那么 D2f(x):Rn×Rn→R 对于标准基的矩阵为
??????????????2f?x1?x1????2f?xn?x1???2f?x1?xn????2f?xn?xn?????????????
其中每个偏微分都是在点 x=(x1,…,xn) 处进行计算。
对于高阶微分，使用相似的处理过程。例如 D3f 对每个 x给出一个三线性映射 D3(f):Rn×Rn×Rn→Rm ，我们没有将这个映射与矩阵联系起来，而是用三个标记的量来表示；对于每个元素 fk 来说就是 ?3fk(?xl?xj?xi)(这样的量叫张量(tensor))。
在处理泰勒定义之前，我们首先给出二阶导数一个非常重要的性质：定理8中的矩阵是对称的，即
?2f?xi?xj=?2f?xj?xi
定理9令 f:A→R 在开集 A 上二阶可导且 D2f 连续(即函数 ?2f/(?xi?j) 是连续的)，那么 D2f 是对称的；即
D2f(x)(x1,x2)=D2f(x)(x2,x1)
或者用元素的方式表示就是
?2f?xi?xj=?2f?xj?xi
从上面的定理可以看出，在相似的条件下，高阶微分也是对称的，对于 f:A→Rm 来说，我们可以将上面的定理应用到 f 的元素上得出微分。
二阶微分的对称性是基本性质，但在单标量微积分中不存在这种情况，现在我们通过实例来验证这些原则。
假设 f(x,y,z)=exysinx+x2y4cos2z ，所以 f:R3→R ，那么
?f?x?f?y=exycosx+yexysinx+2xy4cos2z=xexysinx+4x2y3cos2z
并且
?f?y?x=xexycosx+exysinx+xyexysinx+8xy3cos2z
这与 ?2f/?x?y 是一样的。
定理9直观上不太明显，然而可以从证明中得出一些直观信息。
定义5如果一个函数的前 r 阶导数存在且连续，那么我们称该函数是 Cr 类(class)。(等价的，这意味着到 r 阶之间的所有导数均存在且连续)如果函数对于所有正整数 r 都是 Cr 类，那么我们称该函数是光滑的(smooth)或是 C∞ 类。
【漫步数学分析三十六——泰勒定理】利用定理5(坐标形式是最简单的)中的公式，我们可以说明 Cr 的复合函数还是 Cr 。
泰勒定理如下所述：
定理10对开集 A?Rn ，令 f:A→R 是 Cr 类，令 x,y∈A 并且假设连接 x,y 的线段位于 A 中，那么在这条线段上存在点 c 使得
f(y)?f(x)=∑k=1r?11k!Dkf(x)(y?x,…,y?x)+1r!Dr(c)(y?x,…,y?x)
其中 Dkf(x)(y?x,…,y?x) 表示 k 线性映射 Dkf(x) 作用到 k元 (y?x,…,y?x) 上，在坐标中
Dkf(x)(y?x,…,y?x)=∑i1,…,ik=1n(?kf?xi1??xik)(yi1?xxi)?(yik?xik)
令 y=x+h ，我们可以将泰勒公式重新写成
f(x+h)=f(x)+Df(x)?h+?+1(r?1)!Dr?1f(x)?(h,…,h)+Rr?1(x,h)
其中 Rr?1(x,h) 是余项(remainder)，进一步
当h→0时Rr?1(x,h)∥h∥r?1→0
余项还有其他的表示形式，我们会在证明中给出来，这个定理是均值定理( r=1 的情况)的推广，也是单元微积分中泰勒定理的推广。
根据泰勒定理，我们可以写出 x0 的泰勒级数(Taylor series)
∑k=0∞1k!Dkf(x0)(x?x0,…,x?x0)
即便 f 是 C∞ ，它也没必要收敛，如果它在 x0 的邻域内收敛，那么我们说 f 在 x0 处是可解析的。为了说明 f 是可解析的，我们需要展示在 r→∞ 时，余项 (1/r!)Drf(c)(x?x0,…,x?x0)→0 ，那么它就能用来建立常见的幂级数表达式，像 sinx,cosx 等等。
例1： 对函数 f(x,y)=yx2(cosy2) ，验证定理9。
解：
?f?x=2xycosy2,?2f?y?x=2xcosy2?4xy2siny2
?f?y=x2cosy2?2y2x2siny2,?2f?x?y=2xcosy2?4y2xsiny2
例2： 如果 f 是 R 上的 C∞ 且对于每个区间 [a,b] ，存在常数 M 使得对每个 n,x∈[a,b] ，不等式 |fn(x)|≤M 成立，说明 f 在每个 x0 处可解析并且
f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x?x0)n
解： 余项是
∣∣∣∑n=0∞f(n)(x0)n!(x?x0)n∣∣∣≤Mn|x?x0|nn!
当 n→∞ 时余项 →0 ，因为利用比率测试，对应的级数收敛。通过观察可知这个收敛在所有有界区间上是一致收敛的。
例3： 给出一个是 C∞ 函数但是不可解析。
解： 令
f(x)={0,e?1/x,x≤0x>0
f 平滑性唯一有问题的地方就是 x=0 处，但是对于 x>0
f′(x)=1x2e?1/x
当 x→0+ 时导数 →0 (利用洛必达法则)，同样的我们可以看出 x→0+ 时 f(n)(x)→0 ，从而利用均值定理我们可以看出 f 在0处是 C∞ 且 f(n)(0)=0 ，因此 x=0 处的泰勒级数等于零，所以 f 不等于 x=0 处泰勒级数，故 f 不是可解析的。
例4： 计算 f(x,y)=sin(x+2y) 在 (0,0) 周围的二阶泰勒公式。
解： 这里 f(0,0)=0 ，
?f?x(0,0)?f?y(0,0)?2f?x2(0,0)?2f?y2(0,0)?2f?x?y(0,0)=cos(0+2?0)=1,=2cos(0+2?0)=2,=0,=0,=0
从而
f(h,k)=h+2k+R2(h,k),(0,0)
其中
当(h,k)→(0,0)时,R2(h,k),(0,0)/|(h,k)|2→0
