一、对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。 对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。
如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，则称A为实对称矩阵。比如：
A = [ 1 2 7 2 3 1 7 1 11 ] A=\begin{bmatrix} 1 &
2&
7\\ 2&
3&
1\\ 7&
1&
11 \end {bmatrix} A=???127?231?7111????
二、设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量 a a a，使得 A a = λ a Aa=λa Aa=λa，则称λ是矩阵A的特征值， a a a是A属于特征值λ的特征向量。
A的所有特征值的全体，叫做A的谱，记为λ ( A ) λ(A) λ(A)。
经过A的线性变换后，向量 a a a仅仅做了尺度的绽放而没有做其他的变换。
三、
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的，即： a 1 , a 2 为 2 个 特 征 向 量 ， 则 a 1 a 2 = 0 a_1,a_2为2个特征向量，则a_1a_2=0 a1?,a2?为2个特征向量，则a1?a2?=0。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若 λ λ λ是A的特征方程的 λ λ λ重根，对应的特征值 λ λ λ恰有 λ λ λ个线性无关的特征向量。
【AI与机器学习|AI理论随笔-对称矩阵、正交矩阵与特征向量，特征值（1）】四、如果 A A T = E AA^T=E AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或 A T A = E A^TA=E ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。
在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。
1.方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；
2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4.A的列向量组也是正交单位向量组。
5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵
