ALS算法讲解推荐系统

Kendall秩相关系数（Kendall rank correlation coefficient）
对于秩变量对 (xi,yi),(xj,yj) ：

(xi?xj)(yi?yj)?????>0,=0,<0,concordantneither concordant nor discordantdiscordant

τ=(number of concordant pairs)?(number of discordant pairs)n(n?1)/2

注：Sir Maurice George Kendall，1907~1983，英国统计学家。这个人职业生涯的大部分时间都是一个公务员，二战期间出任英国船运协会副总经理。1949年以后担任伦敦大学教授。

参见：
https://en.wikipedia.org/wiki/Kendall_rank_correlation_coefficient
Tanimoto系数

T(x,y)=|X∩Y||X∪Y|=|X∩Y||X|+|Y|?|X∩Y|=∑xiyi∑x2i￣￣￣￣￣√+∑y2i￣￣￣￣￣√?∑xiyi
该系数由Taffee T. Tanimoto于1960年提出。Tanimoto生平不详，从名字来看，应该是个日本人。在其他领域，它还有另一个名字Jaccard similarity coefficient。（两者的系数公式一致，但距离公式略有差异。）

注：Paul Jaccard，1868～1944，苏黎世联邦理工学院（ETH Zurich）博士，苏黎世联邦理工学院植物学教授。ETH Zurich可是出了24个诺贝尔奖得主的。

参见：
https://en.wikipedia.org/wiki/Jaccard_index
ALS算法原理 http://www.cnblogs.com/luchen927/archive/2012/02/01/2325360.html
上面的网页概括了ALS算法出现之前的协同过滤算法的概况。
ALS算法是2008年以来，用的比较多的协同过滤算法。它已经集成到Spark的Mllib库中，使用起来比较方便。
从协同过滤的分类来说，ALS算法属于User-Item CF，也叫做混合CF。它同时考虑了User和Item两个方面。
用户和商品的关系，可以抽象为如下的三元组：。其中，Rating是用户对商品的评分，表征用户对该商品的喜好程度。
假设我们有一批用户数据，其中包含m个User和n个Item，则我们定义Rating矩阵 Rm×n ，其中的元素 rui 表示第u个User对第i个Item的评分。
在实际使用中，由于n和m的数量都十分巨大，因此R矩阵的规模很容易就会突破1亿项。这时候，传统的矩阵分解方法对于这么大的数据量已经是很难处理了。
另一方面，一个用户也不可能给所有商品评分，因此，R矩阵注定是个稀疏矩阵。矩阵中所缺失的评分，又叫做missing item。

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针对这样的特点，我们可以假设用户和商品之间存在若干关联维度（比如用户年龄、性别、受教育程度和商品的外观、价格等），我们只需要将R矩阵投射到这些维度上即可。这个投射的数学表示是：

Rm×n≈Xm×kYTn×k(1)
这里的 ≈ 表明这个投射只是一个近似的空间变换。
不懂这个空间变换的同学，可参见《机器学习（十二）》中的“奇异值分解”的内容，或是本节中的“主成分分析”的内容。
一般情况下，k的值远小于n和m的值，从而达到了数据降维的目的。

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幸运的是，我们并不需要显式的定义这些关联维度，而只需要假定它们存在即可，因此这里的关联维度又被称为Latent factor。k的典型取值一般是20～200。
这种方法被称为概率矩阵分解算法(probabilistic matrix factorization，PMF)。ALS算法是PMF在数值计算方面的应用。
为了使低秩矩阵X和Y尽可能地逼近R，需要最小化下面的平方误差损失函数：

minx?,y?∑u,i is known(rui?xTuyi)2
考虑到矩阵的稳定性问题，使用Tikhonov regularization，则上式变为：

minx?,y?L(X,Y)=minx?,y?∑u,i is known(rui?xTuyi)2+λ(|xu|2+|yi|2)(2)
优化上式，得到训练结果矩阵 Xm×k,Yn×k 。预测时，将User和Item代入 rui=xTuyi ，即可得到相应的评分预测值。

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同时，矩阵X和Y，还可以用于比较不同的User（或Item）之间的相似度，如下图所示：

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ALS算法的缺点在于：
1.它是一个离线算法。
2.无法准确评估新加入的用户或商品。这个问题也被称为Cold Start问题。
ALS算法优化过程的推导公式2的直接优化是很困难的，因为X和Y的二元导数并不容易计算，这时可以使用类似坐标下降法的算法，固定其他维度，而只优化其中一个维度。
对 xu 求导，可得：

?L?xu=?2∑i(rui?xTuyi)yi+2λxu=?2∑i(rui?yTixu)yi+2λxu=?2YTru+2YTYxu+2λxu
令导数为0，可得：

YTYxu+λIxu=YTru?xu=(YTY+λI)?1YTru(3)
同理，对 yi 求导，由于X和Y是对称的，因此可得类似的结论：

yi=(XTX+λI)?1XTri(4)
因此整个优化迭代的过程为：

1.随机生成X、Y。（相当于对迭代算法给出一个初始解。）
Repeat until convergence {
2.固定Y，使用公式3更新 xu 。
3.固定X，使用公式4更新 yi 。
}

一般使用RMSE（root-mean-square error）评估误差是否收敛，具体到这里就是：

RMSE=∑(R?XYT)2N￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣√
其中，N为三元组的个数。当RMSE值变化很小时，就可以认为结果已经收敛。
算法复杂度：
1.求 xu ： O(k2N+k3m)
【ALS算法讲解】 2.求 yi ： O(k2N+k3n)
可以看出当k一定的时候，这个算法的复杂度是线性的。
因为这个迭代过程，交替优化X和Y，因此又被称作交替最小二乘算法（Alternating Least Squares，ALS）。
隐式反馈用户给商品评分是个非常简单粗暴的用户行为。在实际的电商网站中，还有大量的用户行为，同样能够间接反映用户的喜好，比如用户的购买记录、搜索关键字，甚至是鼠标的移动。我们将这些间接用户行为称之为隐式反馈（implicit feedback），以区别于评分这样的显式反馈（explicit feedback）。
隐式反馈有以下几个特点：
1.没有负面反馈（negative feedback）。用户一般会直接忽略不喜欢的商品，而不是给予负面评价。
2.隐式反馈包含大量噪声。比如，电视机在某一时间播放某一节目，然而用户已经睡着了，或者忘了换台。
3.显式反馈表现的是用户的喜好（preference），而隐式反馈表现的是用户的信任（confidence）。比如用户最喜欢的一般是电影，但观看时间最长的却是连续剧。大米购买的比较频繁，量也大，但未必是用户最想吃的食物。
4.隐式反馈非常难以量化。
ALS-WR 针对隐式反馈，有ALS-WR算法（ALS with Weighted- λ -Regularization）。
首先将用户反馈分类：

pui={1,0,preferenceno preference
但是喜好是有程度差异的，因此需要定义程度系数：

cui=1+αrui
这里的 rui 表示原始量化值，比如观看电影的时间；
这个公式里的1表示最低信任度， α 表示根据用户行为所增加的信任度。
最终，损失函数变为：

minx?,y?L(X,Y)=minx?,y?∑u,icui(pui?xTuyi)2+λ(∑u|xu|2+∑i|yi|2)
除此之外，我们还可以使用指数函数来定义 cui ：

cui=1+αlog(1+rui/?)
ALS-WR没有考虑到时序行为的影响，时序行为相关的内容，可参见：
http://www.jos.org.cn/1000-9825/4478.htm
参考参考论文：
《Large-scale Parallel Collaborative Filtering forthe Netflix Prize》
《Collaborative Filtering for Implicit Feedback Datasets》
《Matrix Factorization Techniques for Recommender Systems》
其他参考：
http://www.jos.org.cn/html/2014/9/4648.htm
http://www.fuqingchuan.com/2015/03/812.html
http://www.docin.com/p-714582034.html
http://www.tuicool.com/articles/fANvieZ
http://www.68idc.cn/help/buildlang/ask/20150727462819.html