泰勒公式与极值数学分析

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混合偏导交换顺序

证明（重要）
注意！n阶混合偏导类似，只需在某点存在到n阶的连续混合偏导数，那么在这点m阶混合偏导数都与求导顺序无关

中值定理

证明
注意！
推论

泰勒定理
极值定义
极值必要
极值充分（Hesse矩阵）

混合偏导交换顺序

f x y ( x , y ) , f y x ( x , y ) f_{xy}(x,y),f_{yx}(x,y) fxy?(x,y),fyx?(x,y)都在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0?,y0?)处连续
则有 f x y ( x 0 , y 0 ) = f y x ( x 0 , y 0 ) f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0) fxy?(x0?,y0?)=fyx?(x0?,y0?)

证明（重要）

令 F ( △ x , △ y ) = f ( x 0 + △ x , y 0 + △ y ) ? f ( x 0 + △ x , y 0 ) ? f ( x 0 , y 0 + △ y ) + f ( x 0 , y 0 ) F(\triangle x,\triangle y)=f(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y)-f(x_0+\triangle x,y_0)-f(x_0,y_0+\triangle y)+f(x_0,y_0) F(△x,△y)=f(x0?+△x,y0?+△y)?f(x0?+△x,y0?)?f(x0?,y0?+△y)+f(x0?,y0?) 令 φ ( x ) = f ( x , y 0 + △ y ) ? f ( x , y 0 ) \varphi(x)=f(x,y_0+\triangle y)-f(x,y_0) φ(x)=f(x,y0?+△y)?f(x,y0?)
于是 F ( △ x , △ y ) = φ ( x 0 + △ x ) ? φ ( x 0 ) F(\triangle x,\triangle y)=\varphi(x_0+\triangle x)-\varphi(x_0) F(△x,△y)=φ(x0?+△x)?φ(x0?)
由于函数存在关于x的偏导，故 φ \varphi φ可导，由一元函数中值定理，得 φ ( x 0 + △ x ) ? φ ( x 0 ) = φ ′ ( x 0 + θ 1 △ x ) △ x \varphi(x_0+\triangle x)-\varphi(x_0)=\varphi'(x_0+\theta_1\triangle x)\triangle x φ(x0?+△x)?φ(x0?)=φ′(x0?+θ1?△x)△x= [ f x ( x 0 + θ 1 △ x , y 0 + △ y ) ? f x ( x 0 + θ 1 △ x , y 0 ) ] △ x =[f_x(x_0+\theta_1\triangle x,y_0+\triangle y)-f_x(x_0+\theta_1\triangle x,y_0)]\triangle x =[fx?(x0?+θ1?△x,y0?+△y)?fx?(x0?+θ1?△x,y0?)]△x0 < θ 1 < 1 0<\theta_1<1 0<θ1?<1
又因为 f x f_x fx?存在关于y的偏导数，于是再对 f x f_x fx?应用中值定理，得φ ( x 0 + △ x ) ? φ ( x 0 ) \varphi(x_0+\triangle x)-\varphi(x_0) φ(x0?+△x)?φ(x0?)= f x y ( x 0 + θ 1 △ x , y 0 + θ 2 △ y ) △ x △ y =f_{xy}(x_0+\theta_1\triangle x,y_0+\theta_2\triangle y)\triangle x\triangle y =fxy?(x0?+θ1?△x,y0?+θ2?△y)△x△y0 < θ 1 , θ 2 < 1 0<\theta_1,\theta_2<1 0<θ1?,θ2?<1
所以 F ( △ x , △ y ) = f x y ( x 0 + θ 1 △ x , y 0 + θ 2 △ y ) △ x △ y F(\triangle x,\triangle y)=f_{xy}(x_0+\theta_1\triangle x,y_0+\theta_2\triangle y)\triangle x\triangle y F(△x,△y)=fxy?(x0?+θ1?△x,y0?+θ2?△y)△x△y所以要证 f x y ( x 0 , y 0 ) = f y x ( x 0 , y 0 ) f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0) fxy?(x0?,y0?)=fyx?(x0?,y0?)，只需再证明 F ( △ x , △ y ) = f y x ( x 0 + θ 3 △ x , y 0 + θ 4 △ y ) △ x △ y F(\triangle x,\triangle y)=f_{yx}(x_0+\theta_3\triangle x,y_0+\theta_4\triangle y)\triangle x\triangle y F(△x,△y)=fyx?(x0?+θ3?△x,y0?+θ4?△y)△x△y再利用 f x y , f y x f_{xy},f_{yx} fxy?,fyx?连续的条件，让 △ → 0 \triangle\to0 △→0就得了。所以下面证明这个
与上面类似，只需设 ψ ( y ) = f ( x 0 + △ x , y ) ? f ( x 0 , y ) \psi(y)=f(x_0+\triangle x,y)-f(x_0,y) ψ(y)=f(x0?+△x,y)?f(x0?,y)

注意！n阶混合偏导类似，只需在某点存在到n阶的连续混合偏导数，那么在这点m阶混合偏导数都与求导顺序无关 ( m ≤ n ) (m\le n) (m≤n)
中值定理先介绍一个概念：凸区域
若D上任意两点的连线都含于D——称D为凸区域，即
? P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) ∈ D , ? λ ∈ [ 0 , 1 ] \forall P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)\in D,\forall \lambda\in[0,1] ?P1?(x1?,y1?),P2?(x2?,y2?)∈D,?λ∈[0,1]，有 P ( x 1 + λ ( x 2 ? x 1 ) , y 1 + λ ( y 2 ? y 1 ) ) ∈ D P(x_1+\lambda(x_2-x_1),y_1+\lambda (y_2-y_1))\in D P(x1?+λ(x2??x1?),y1?+λ(y2??y1?))∈D
定理：

f f f在凸开域D上连续，在D所有内点可微
那么对 ? P ( a , b ) , Q ( a + h , b + k ) ∈ D , ? θ ∈ ( 0 , 1 ) \forall P(a,b),Q(a+h,b+k)\in D,\exist\theta\in(0,1) ?P(a,b),Q(a+h,b+k)∈D,?θ∈(0,1),使得 f ( a + h , b + k ) ? f ( a , b ) f(a+h,b+k)-f(a,b) f(a+h,b+k)?f(a,b)= f x ( a + θ h , b + θ k ) h + f y ( a + θ h , b + θ k ) k =f_x(a+\theta h,b+\theta k)h+f_y(a+\theta h,b+\theta k)k =fx?(a+θh,b+θk)h+fy?(a+θh,b+θk)k

证明 【泰勒公式与极值】这个定理的关键在于，对不同的 △ x , △ y \triangle x,\triangle y △x,△y,最后都是同一个 θ \theta θ

这个证明有意思啦，通过把问题转化为一元函数的中值定理来解决，设 Φ ( t ) = f ( a + t h , b + t k ) \Phi(t)=f(a+th,b+tk) Φ(t)=f(a+th,b+tk)这是定义在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上的一元，由条件知，该函数在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上连续，在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上可微
由一元的中值定理，知，对于 Φ ( 1 ) ? Φ ( 0 ) = f ( a + h , b + k ) ? f ( a , b ) \Phi(1)-\Phi(0)=f(a+h,b+k)-f(a,b) Φ(1)?Φ(0)=f(a+h,b+k)?f(a,b)定存在 θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1)，使得 Φ ( 1 ) ? Φ ( 0 ) = Φ ′ ( θ ) \Phi(1)-\Phi(0)=\Phi'(\theta) Φ(1)?Φ(0)=Φ′(θ)= f x ( a + θ h , b + θ k ) h + f y ( a + θ h , b + θ k ) k =f_x(a+\theta h,b+\theta k)h+f_y(a+\theta h,b+\theta k)k =fx?(a+θh,b+θk)h+fy?(a+θh,b+θk)k

注意！

该定理对区域的要求是凸开域，其实闭开域也不是不行，只要满足！对D内任意两点 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) ，以及任意 λ ∈ ( 0 , 1 ) P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)，以及任意\lambda\in(0,1) P1?(x1?,y1?),P2?(x2?,y2?)，以及任意λ∈(0,1)，都有 P ( x 1 + λ ( x 2 ? x 1 ) , y 1 + λ ( y 2 ? y 1 ) ) ∈ i n tD P(x_1+\lambda(x_2-x_1),y_1+\lambda (y_2-y_1))\in int\ D P(x1?+λ(x2??x1?),y1?+λ(y2??y1?))∈int D D 1 = ： { ( x , y ) ∣ ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) ≤ r 2 } D_1=：\{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)\le r^2\} D1?=：{(x,y)∣(x?a)2+(y?b)≤r2}D 2 = { ( x , y ) ∣ ( x , y ) ∈ [ a , b ] × [ c , d ] } D_2=\{(x,y)|(x,y)\in[a,b]×[c,d]\} D2?={(x,y)∣(x,y)∈[a,b]×[c,d]}若函数 f f f在 D 1 , D 2 D_1,D_2 D1?,D2?上都连续，则在 D 1 D_1 D1?上有上述定理成立，而在 D 2 D_2 D2?上就不一定成立了，这是因为！在 D 2 D_2 D2?上不一定满足 ∈ i n tD \in int\ D ∈int D的条件，函数在边界处可能没有偏导数，由可微的必要条件得，在边界处不可微
- 偏导——例如 y = c y=c y=c， △ x = 0 \triangle x=0 △x=0， f x f_x fx?的偏导怎么求？？
之前也有一个中值定理，这两者的区别当然就是 θ \theta θ啦！这里的中值点要求在 P Q PQ PQ连线上，之前那个只要在包含P，Q的区域内就行了

推论

f f f在D上存在偏导
f x = f y ≡ 0 f_x=f_y\equiv0 fx?=fy?≡0
那么， f f f在D上为常量函数

泰勒定理

f f f在 P 0 P_0 P0?的某邻域 U ( P 0 ) U(P_0) U(P0?)有直到n+1阶的连续偏导数
那么，对 ? ( x 0 + h , y 0 + k ) ∈ U ( P 0 ) , ? θ ∈ ( 0 , 1 ) \forall(x_0+h,y_0+k)\in U(P_0),\exist\theta\in(0,1) ?(x0?+h,y0?+k)∈U(P0?),?θ∈(0,1)使得 f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + ( h ? ? x + k ? ? y ) f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0) f(x0?+h,y0?+k)=f(x0?,y0?)+(h?x??+k?y??)f(x0?,y0?)+ 1 2 ! ( h ? ? x + k ? ? y ) 2 f ( x 0 , y 0 ) + . . . + 1 n ! ( h ? ? x + k ? ? y ) n f ( x 0 , y 0 ) + +\frac{1}{2!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)+...+\frac{1}{n!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^nf(x_0,y_0)+ +2!1?(h?x??+k?y??)2f(x0?,y0?)+...+n!1?(h?x??+k?y??)nf(x0?,y0?)++ 1 ( n + 1 ) ! ( h ? ? x + k ? ? y ) n + 1 f ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) +\frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k) +(n+1)!1?(h?x??+k?y??)n+1f(x0?+θh,y0?+θk)
其中， ( h ? ? x + k ? ? y ) m = ∑ i = 0 m C m i ? m ? x i ? y m ? i f ( x 0 , y 0 ) h i k m ? i (h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^m=\sum\limits_{i=0}^mC_m^i\frac{\partial^m}{\partial {x}^i\partial{y^{m-i}}}f(x_0,y_0)h^ik^{m-i} (h?x??+k?y??)m=i=0∑m?Cmi??xi?ym?i?m?f(x0?,y0?)hikm?i
余项也可写作 o ( ρ n ) o(\rho^n) o(ρn)，此时只需 f 在 U ( P 0 ) f在U(P_0) f在U(P0?)上存在直到n阶的连续偏导数

极值定义

f f f在 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0?(x0?,y0?)得到某邻域 U ( P 0 ) U(P_0) U(P0?)上有定义
对 ? P ( x , y ) ∈ U ( p 0 ) \forall P(x,y)\in U(p_0) ?P(x,y)∈U(p0?)，成立 f ( P ) ≤ f ( P 0 ) f(P)\le f(P_0) f(P)≤f(P0?)极大值
这里的极值点仅限于D的内点

极值必要

f 在 P 0 f在P_0 f在P0?处存在偏导
且在 P 0 P_0 P0?取得极值，则 f x ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) = 0 (1) f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0\tag{1} fx?(x0?,y0?)=fy?(x0?,y0?)=0(1)
满足(1)——稳定点

极值充分（Hesse矩阵）

f f f在 P 0 P_0 P0?某领域 U ( P 0 ) U(P_0) U(P0?)有二阶连续偏导
P 0 P_0 P0?是稳定点
Hesse矩阵： H ( f ) ∣ P 0 ( f x x f x y f y x f y y ) P 0 H(f)|_{P_0}\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}_{P_0} H(f)∣P0??(fxx?fyx??fxy?fyy??)P0??
① f x x > 0 , ∣ ∣ > 0 ? P 0 极小值 f_{xx}>0,||>0\Rightarrow P_0极小值 fxx?>0,∣∣>0?P0?极小值，矩阵正定
② f x x > 0 , ∣ ∣ < 0 ? P 0 极大值 f_{xx}>0,||<0\Rightarrow P_0极大值 fxx?>0,∣∣<0?P0?极大值，负定
③ ∣ ∣ < 0 ? 在 P 0 取不到极值 ||<0\Rightarrow在P_0取不到极值 ∣∣<0?在P0?取不到极值，不定
④ ∣ ∣ = 0 ? 不能判断 ||=0\Rightarrow不能判断 ∣∣=0?不能判断