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完整版 2010考研政治真题及答案，2010考研政治真题及答案解析( 四 )

睿知经验知识


【详解】 作极坐标变换：，有

=
令，则
.
记，则

=
=
=
=
因此，

【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.
六、（本题满分9分）
求幂级数 的和函数f(x)及其极值.
【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常 *** 求极值.
【详解】

上式两边从0到x积分，得

由f(0)=1, 得

令，求得唯一驻点x=0. 由于

，
可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为
f(0)=1.
【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.
七、（本题满分9分）
设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在 内满足以下条件：
，，且f(0)=0,
(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程；
(4) 求出F(x)的表达式.
【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.
【详解】(1) 由

=
=
=(2 -2F(x),
可见F(x)所满足的一阶微分方程为

(2)
=
=
将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得
C=-1.
于是

【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.
八、（本题满分8分）
设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使
【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c，使得，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.
【详解】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是
，
，
.
故

由介值定理知，至少存在一点，使

因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在，使
【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.
九、（本题满分13分）
已知齐次线性方程组

其中试讨论 和b满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解；
(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.
【详解】 方程组的系数行列式

=
(1) 当 时且 时，秩(A)=n，方程组仅有零解.
(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为

由 可知，不全为零. 不妨设，得原方程组的一个基础解系为
，，
当 时，有，原方程组的系数矩阵可化为

（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以 倍）

（ 将第n行 倍到第2行的 倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）

由此得原方程组的同解方程组为
，，.
原方程组的一个基础解系为

【评注】 本题的难点在 时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然 为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.

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