几何原本对于几何学、数学和科学的未来发展 ， 对于西方人的整个思维 *** 都有极大的影响 。《几何原本》的主要对象是几何学 ， 但它还处理了数论、无理数理论等其他课题 ， 例如著名的欧几里得引理和求最大公因数的欧几里得算法 。几何原本也说明完全数和梅森质数的关系（欧几里得-欧拉定理）、质数有无限多个（欧几里得定理）、有关因式分解的欧几里得引理（导出了算术基本定理及整数分解的唯一性）等 。
欧几里得使用了公理化的 ***。公理（Axioms）就是确定的、不需证明的基本命题 ， 一切定理都由此演绎而出 。在这种演绎推理中 ， 每个证明必须以公理为前提 ， 或者以被证明了的定理为前提 。这一 *** 后来成了建立任何知识体系的典范 ， 在差不多二千年间 ， 被奉为必须遵守的严密思维的范例 。《几何原本》是古希腊数学发展的顶峰 。欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果 ， 整理在严密的逻辑系统运算之中 ， 使几何学成为一门独立的、演绎的科学 。
【大数的资料有哪些四年级上册 大数的资料有哪些】欧几里得在《几何原本》中提到的几何系统后来简称为几何 ， 长久以来视为唯一一种可能的几何方式 ， 不过当数学家在19世纪发现非欧几里得几何后 ， 上述的几何就称为欧几里得几何 。
中国最早的《几何原本》译本是1607年意大利传教士利玛窦和中国学者徐光启根据德国神父克里斯托弗·克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷）合译的 ， 定名为《几何原本》 ， 几何的中文名称就是由此而得来的 。他们只翻译了前6卷 ， 后9卷由英国人伟烈亚力和中国科学家李善兰在1857年译出 。
欧几里得算法在数学中 ， 辗转相除法 ， 又称欧几里得算法（英语：Euclidean algorithm） ， 是求最大公约数的算法 。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷 ， 命题i和ii）中 ， 而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》 。
两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数 。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数 。例如 ， 252和105的最大公约数是21（252=21×12; 105=21×5）；因为 252 ? 105 = 21 × (12 ? 5) = 147 ， 所以147和105的最大公约数也是21 。在这个过程中 ， 较大的数缩小了 ， 所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零 。这时 ， 所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数 。由辗转相除法也可以推出 ， 两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示 ， 如21 = 5 × 105 + (?2) × 252。这个重要的结论叫做裴蜀定理 。
文章插图
辗转相除法的演示动画(图自维基)：
两条线段长分别可表示252和105 ， 则其中每一小分段长代表最大公约数21 。如动画所示 ， 只要辗转地从大数中减去小数 ， 直到其中一段的长度为0 ， 此时剩下的一条线段的长度就是252和105的最大公因数 。
辗转相除法有很多应用 ， 它甚至可以用来生成全世界不同文化中的传统音乐节奏 。在现代密码学方面 ， 它是RSA算法（一种在电子商务中广泛使用的公钥加密算法）的重要部分 。它还被用来解丢番图方程 ， 比如寻找满足中国剩余定理的数 ， 或者求有限域中元素的逆 。辗转相除法还可以用来构造连分数 ， 在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用 。辗转相除法是现代数论中的基本工具 。
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