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python概率分布函数 python概率分布函数拟合( 八 )

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\displaystyle G(y) = P(Y \leq y) = P(X_1 \leq \phi^{-1}(y)) = F(\phi^{-1}(y))
再求导我们就能得到 Y 的概率密度函数：
\displaystyle g(y) = \frac{dG(y)}{dy} = f(\phi^{-1}(y))\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)
这样一来 ， 我们就得到了对于一个随机变量进行一个映射 \phi(\cdot) 之后得到的随即变量的分布，那么，回到我们刚才的问题，我们想让这个结果分布就是我们所求的 ， 然后再反推得 \phi(\cdot) 即可：
\displaystyle \frac{1}{9}y^2 = g(y) = f(\phi^{-1}(y))\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y) = \frac{1}{3}\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)
经过简单的化简就可以得到 \phi^{-1}(y) = \frac{1}{9} y^3 ，亦即 \phi(x) = (9x)^{1/3}。也就是说，把得到的随机数 X_1 带入到到函数 \phi(\cdot) 中所得到的结果，就是符合我们预期要求的随机数啦python概率分布函数！ :D 让我们来验证一下：
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#!/usr/bin/pythonimport numpy as np import matplotlib.pyplot as plotN = 10000 X0 = np.random.rand(N) X1 = 3*X0 Y = np.power(9*X1, 1.0/3)t = np.arange(0.0, 3.0, 0.01) y = t*t/9plot.plot(t, y, 'r-', linewidth=1) plot.hist(Y, bins=50, normed=1, facecolor='green', alpha=0.75)plot.show()
这就没错啦，目的达成啦！让我们来总结一下 。问题是这样的 ， 我们有一个服从均匀分布的随机变量 X，它的概率密度函数为一个常数 f(x)=C  ， 如果是 [0,1] 上的分布，那么常数 C 就直接等于 1 了 。现在我们要得到一个随机变量 Y 使其概率密度函数为 g(y) ，做法就是构造出一个函数 \phi(\cdot) 满足（在这里加上了绝对值符号，这是因为 \phi(\cdot) 如果不是递增而是递减的话，推导的过程中有一处就需要反过来）
\displaystyle g(y) = f(\phi^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)\right| = C\left|\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)\right|
反推过来就是，对目标 y 的概率密度函数求一个积分（其实就是得到它的概率分布函数 CDF  ， 如果一开始就拿到的是 CDF 当然更好），然后求其反函数就可以得到需要的变换 \phi(\cdot) 了 。实际上，这种方法有一个听起来稍微专业一点的名字：Inverse Transform Sampling Method。不过，虽然看起来很简单，但是实际操作起来却比较困难 ， 因为对于许多函数来说，求逆是比较困难的，求积分就更困难了 ， 如果写不出解析解，不得已只能用数 值方法来逼近的话，计算效率就很让人担心了 。可事实上也是如此 ， 就连我们最常见的一维标准正态分布 ， 也很难用这样的方法来抽样，因为它的概率密度函数
\displaystyle g(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}y^2}
的不定积分没有一个解析形式 。这可真是一点也不好玩，费了这么大劲，结果好像什么都干不了 。看来这个看似简单的问题似乎还是比较复杂的 ， 不过也不要灰心，至少对于高斯分布来说，我们还有一个叫做 Box Muller 的方法可以专门来做这个事情 。因为高斯分布比较奇怪，虽然一维的时候概率分布函数无法写出解析式 ， 但是二维的情况却可以通过一些技巧得出一个解析式来 。
首先我们来考虑一个二维的且两个维度相互独立的高斯分布，它的概率密度函数为
\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}} = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}
这个分布是关于原点对称的 ， 如果考虑使用极坐标 (\theta,r) （其中 \theta\in[0,2\pi), r\in[0,\infty) ）的话，我们有 x = r\cos\theta ， y=r\sin\theta 这样的变换 。这样，概率密度函数是写成：
\displaystyle f(\theta,r) = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2}}
注意到在给定 r 的情况下其概率密度是不依赖于 \theta 的，也就是说对于 \theta 来说是一个均匀分布，这和我们所了解的标准正态分布也是符合的：在一个圆上的点的概率是相等的 。确定了 \theta 的分布，让我们再来看 r，用类似于前面的方法：

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