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算法|【数据结构与算法】——时间复杂度和空间复杂度

算法数据结构排序算法


算法的时间复杂度和空间复杂度

  • 算法效率
  • 时间复杂度
    • 时间复杂度的概念
    • 时间复杂度计算案例
        • 案例一
        • 案例二
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        • 案例六
        • 案例七
        • 案例八
  • 空间复杂度
    • 实例
  • 复杂度的练习
    • 消失的数字
    • 旋转数组

算法效率 衡量一个算法的好坏需要看这个算法的效率，而算法的效率由时间和空间两个维度来衡量，即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法运行的快慢，空间复杂度衡量算法运行所需要的额外空间。
时间复杂度 时间复杂度的概念 在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间，一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度，用大O的渐进表示法表示，这是一种估算表示法。
推倒大O阶的方法
  1. 用常数1代替运行时间中所有的加法常数
  2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
  3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶数
例1
请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N) { int count = 0; //代码1： for (int i = 0; i < N ; ++ i) { for (int j = 0; j < N ; ++ j) { ++count; } } //代码2： for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) { ++count; } int M = 10; //代码3： while (M--) { ++count; } printf("%d\n", count); }

代码1中，++count 执行了 N*N 次
代码2中，++count 执行了 2 * N 次
代码3中，++count 执行了10 次
所以Func函数中，++count 共执行了F(N) = N * N + 2 * N + 10 次
用大O渐进表示法后，Func1()的时间复杂度为O(N^2)
有些算法的复杂度存在最好、最坏和平均的情况
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
比如在一个长度为N的数组中搜索一个数据x
最好情况：一次就找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
时间复杂度计算案例 案例一 计算Func(2)的时间按复杂度
void Func2(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) { ++count; } int M = 10; while (M--) { ++count; } printf("%d\n", count); }

第一个循环执行了2 * N 次，第二个循环执行了10次 时间复杂度为O(N)
案例二
void Func4(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 100; ++ k) { ++count; } printf("%d\n", count); }

循环一共运行100次，为常数次，时间复杂度为O(1)
案例三
void Func3(int N, int M) { int count = 0; for (int k = 0; k < M; ++ k) { ++count; } for (int k = 0; k < N ; ++ k) { ++count; } printf("%d\n", count); }

两个循环共运行M+N次，所以时间复杂度为O(M+N)
若M>>N，则时间复杂度为O(M)
若M< 若M和N差不多大，则时间复杂度为O(M+N)
案例四
// 计算strchr的时间复杂度？ const char * strchr ( const char * str, int character );

strchr是一个在字符串中查找某个字符的算法,在一个字符串中查找一个字符，一定要遍历整个字符串，那么上界是N,下界是1，平均为N/2，则时间复杂度为O(N)
案例五 计算BubbleSort的时间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i-1] > a[i]) { Swap(&a[i-1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }

这是一个冒泡排序算法，最坏的情况为运行 (n-1) + (n-2) + … + 2 + 1 次
求和为n * (n - 1) / 2 次
则时间复杂度为O（N ^2)
案例六 计算BinarySearch的时间复杂度
int BinarySearch(int* a, int n, int x) { assert(a); int begin = 0; int end = n-1; while (begin < end) { int mid = begin + ((end-begin)>>1); if (a[mid] < x) begin = mid+1; else if (a[mid] > x) end = mid; else return mid; } return -1; }

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这是一个二分查找的算法，最坏的情况是一直找，一直分，直到剩1个数字就不再分为止。于是有 N/2/2/2/2/2/…/2 = 1 假设一共除了n次2，那么N/2n = 1,n = log2N , 所以时间复杂度为O（log2N)
案例七 计算阶乘递归Fac的时间复杂度
long long Fac(size_t N) { if(0 == N) return 1; return Fac(N-1)*N; }

F(N) = N * F(N - 1)
F(N - 1) = (N - 1) * F(N - 2)
F(N - 2) = (N - 2) * F(N - 3)
… …
…
F(1) = 1
一共递归了N次，所以时间复杂度为O(N)
案例八 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度
计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？ long long Fib(size_t N) { if(N < 3) return 1; return Fib(N-1) + Fib(N-2); }

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共调用 20 + 21 + …+2(N-2) 次 , 时间复杂度为O(2N)
空间复杂度 空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，算的是变量的个数，也使用大O渐进表示法。
实例 实例1：
计算BubbleSort 的空间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i-1] > a[i]) { Swap(&a[i-1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }

该算法共创建了 exchange , i ,end 三个变量，为常数，时间复杂度为O（1）
实例2：
long long* Fibonacci(size_t n) { if(n==0) return NULL; long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long)); fibArray[0] = 0; fibArray[1] = 1; for (int i = 2; i <= n ; ++i) { fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2]; } return fibArray; }

共在堆区额外开辟了（n+1）* 8字节的空间，其他都是常数次，所以空间复杂度为O(N)
实例三：
long long Fac(size_t N) { if(N == 0) return 1; return Fac(N-1)*N; }

共递归了N次，每次在栈区开辟常数个空间，所以空间复杂度为O(N)
复杂度的练习 消失的数字
数组nums包含从0到n的所有整数，但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。你有办法在O(n)时间内完成吗？
方法一：将所有数字从小到大排序，判断上一个数+1是否等于下一个数，不等于，就找出该数字，但是冒泡排序的时间复杂度不符合O(N),该方法不行
方法二：将0到n所有数字求和，然后减去已知所有数字和得到所求数字，时间复杂度为O(N)
int missingNumber(int* nums, int numsSize){ int sum = 0; for(int i = 0; i< numsSize+1; i++) { sum+=i; } for(int i = 0; i

方法三：用异或的方法。首先我们应该知道，n ^ 0 = n,n ^ n = 0,a ^ b ^ c = a ^ c ^ b,那么先用0将数组中的元素都异或一边，然后在将所得到的结果与0到n之间的数再异或一遍，这时，出现两次的数字异或之后为0，最后得到的就是所求的数字
int x=0; for(int i=0; i

旋转数组
给你一个数组，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数
方法一：数组中的元素向右轮转K个位置，那么第i个元素轮转后，新的位置为(i+k)%numsSize
nt newnums[numsSize] = 0; for (int i = 0; i < numsSize; i++) { newnums[(i + k) % numsSize] = nums[i]; } for (int i = 0; i < numsSize; i++) { nums[i] = newnums[i]; }

方法二：
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void reverse(int* nums,int begin,int end) { while(begin

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