差分方程微分方程如何由微分方程求得差分方程，常微分方程与差分方程在哪本书 _睿知

如何将这个微分方程变成差分方程形式
怎么把微分方程转化为差分方程，说白了就是把微分算子转化为差分算子。但是变换的方式有很多很多，带来的是不同的数值解。如果你的目标是数值求解这个方程，我建议你用matlab，非常方便快捷。如果你的目的是得到差分方程，建议你参考数值求解方法的书籍，选择一个差分格式，然后仔细推导。
微分方程变差分方程
假设自变量是t，那么你的x “就是自变量t的导数，更准确的写法是：dx/dt=ax b .那么根据导数的定义：dx/dt=lim {m-0} [x(t m)-x(t)]/m就是函数值的增量除以自变量的增量。那么编程差分方程就是：[x(t m)-x(t)]/m=ax(t) b，即x(t m)-(am 1)x(t)=mb 。这是一个关于x(t)和x(t m)的差分方程。当然这里m不能太大，否则差分方程不成立。
【差分方程微分方程如何由微分方程求得差分方程，常微分方程与差分方程在哪本书】关于微分方程和差分方程的关系
差分方程是微分方程的离散化。大部分常微分方程无法得到精确解，只能得到近似解。当然，这个近似解的精度是比较高的。另外需要指出的是，用来描述物理过程的微分方程和实验确定的初始条件也是近似的，这些近似之间的影响和变化必须从理论上解决。常微分方程的常见约束是函数值在特定点的值。如果是高阶微分方程，其导数的值会相加。具有这种约束的常微分方程称为初值问题。在数学中，递归关系，即差分方程，是递归定义一个序列的方程：序列的每一项都是定义为前一项的函数。一些简单定义的递推关系可能表现出非常复杂(混沌)的性质，它们在数学上属于非线性分析领域。求解一个递归关系就是求它的解析解，即关于n的非递归函数。

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差分方程的解
含有未知函数的差分和独立变量的方程。在求解微分方程*的数值解时，微分往往用相应的差分来近似，导出的方程就是差分方程。通过求解差分方程求微分方程的近似解，就是连续问题离散化的一个例子。[1]中文名差分方程mbth，差分方程的别称，递归关系应用学科，数学的适用范围，自动控制与设计，数值计算，经济研究等。差分方程应用简介。在数学中，递归关系，即差分方程，是递归定义一个序列的方程：序列的每一项都定义为前一项的函数。一些简单定义的递推关系可能表现出非常复杂(混沌)的性质，它们在数学上属于非线性分析领域。求解一个递归关系就是求它的解析解，即关于n的非递归函数.自然的意义数值分析遇到的第一个问题就是如何把一个微分方程转化为相应的差分方程，使差分方程的解能最好地逼近原微分方程的解，接下来就是计算。[2]例如dy y*dx=0，y(0)=1是微分方程，x取值[0，1](注：解为y(x)=e(-x))；为了实现微分方程的离散化，可以将X的区间分成许多单元格间[0，1/n]，[1/n，2/n]，[(n-1)/n，1]这样上面的微分方程就可以离散成：Y ((K1)/n)-y(k/n) Y .性质1k(xn yn)=kxnkyn性质2k(cxn)=ckxn性质3kxn=(-1)jCjkXn k-j性质4级数是一个无穷可微函数，通项为n .对任意k=1，有，kxn=f
什么叫差分，差分方程是啥？
1.差也称为差函数或差运算。差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的工具。它将原函数f(x)映射到f(x a)-f(x b) 。差分运算对应于微分运算，是微积分中的一个重要概念。差异分为前向差异、后向差异和中心差异。2.差分方程(递归定义一个序列的方程：序列的每一项都是定义为前一项的函数。一些简单定义的递推关系可能表现出非常复杂(混沌)的性质，它们在数学上属于非线性分析领域。扩展资料：差分方程举例：dy y*dx=0，y(0)=1为微分方程，x取值[0，1](注：解为y(x)=e(-x))；为了实现微分方程的离散化，可以将X的区间分成许多单元格间[0，1/n]，[1/n，2/n]，【(n-1)/n，1】这样上面的微分方程就可以离散成：Y ((K1)/n)-y(k/n) Y .差分方程1的性质。k (xnyn)= kxnkyn 。2、k(cxn)=ckxn .3、kxn=(-1)jCjkXn k-j .4.数列的通项是n的无穷导函数，对任意k=1，有，kxn=f(k)() 。参考来源：百度百科-差分方程参考来源：百度百科-差分

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什么是差分方程？
(我是认真的.)差分方程是由几个含有未知函数及其导数的方程组合而成的方程组。差分方程的具体描述：含义差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定能求出精确解。如果换成差分方程，可以得到近似解。比如dy y*dx=0，y(0)=1是微分方程，x取值[0，1](注：解为y(x)=e(-x))；为了实现微分方程的离散化，可以将X的区间分成许多单元格间[0，1/n]，[1/n，2/n]，[(n-1)/n，1]这样上面的微分方程就可以离散成：Y ((K1)/n)-y(k/n) Y. 1基本理论差分方程1 。区别二。任意序列{xn}，定义差分算子如下： xn=xn1-xn，对新序列应用差分算子，有 2xn= ( kxn) 。性质1k (xnyn)= kxnkyn性质2k (cxn)=Ckxn性质3kxn= (-1) JCJKXN K-J性质。对任意k=1都有， kxn=f () 1关于数列的k阶差分方程：xn-a1xn-1-a2xn-2-.abxn-k=b (n=k，k1，)其中a1，a2，- ak为常数，ak0 。如果b=0，那么方程是齐次的。编辑第一段的例子。实验内容及练习2.1差分例1 Xn={n3}，求各阶差分序列：XnXn3xn4x n1 712 608 19 18 60 27 24 60 64 61 30 6 125 91 36 216 127 343 。可以看出{n3}，三阶差分序列是常数序列，四阶差分序列。练习1对{1}、{n}、{n2}、{n4}、{n5}分别求各阶的差序列。练习2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1}，{C4n-1}，求各阶的差序列。{Xn}的通项是N的三次函数，XN=a3 N2 a1a 0证明了它是一个常数序列。证明了Xn=a3 N2 a1a 0可以直接计算。定理8 。如果1阶序列的通项是关于n的k次多项式，那么k阶差分序列是非零序列，k-1阶差分序列为0 。3练习证明定理8 。1 。定理8 。若2 {Xn}的k阶插值是非零常数序列，则{Xn}是n的k阶多项式，练习4根据差分的性质证明定理8 。例2 。求i3例4解Sn=i3表SnSn2SN3SN5SN 1 8 19 18 6 0 9 27 37 24 6 0 36 61 30 6 0 100 125 91 36 6 0 225 216 127 42 441 343 169 784 512 1296 。SN=a 4n 3 a 3n 2 a 1 a 0，S1=1，S2=9，S3=36，S4=100，S5=225，所以a0=0，a1=0，a2=1/4，a3=1/2，a4=1/4 。因此，Sn=( Find i4 。可以从练习2 {Crn-1}中获得。2.2差分方程对于一个差分方程，如果能找到数列的这样一个通项，并带入差分方程，方程就成了一个恒等式。这个通项叫做差分方程的解。三对差分方程xn-5xn-1 6xn-2=0可以直接验证Xn=C13N2N是这个方程的解。例3中的解包含任意常数，任意常数的个数与差分方程的阶数相同。这样的解称为差分方程的通解。如果k阶差分方程给出了数列第一个k项的值，那么就可以确定通解的任意常数，就可以得到差分的特解。4对差分方程xn-5xn-1 6xn-2=0 。如果已知x1=1，x2=5，则差分方程的特解为xn=3n-2n 。首先，我们研究齐次线性差分方程的解。Xn=rxn-1对于一阶差分方程x1=a，显然有xn=arn-1，因此，如果数列满足一阶差分方程，就是一个几何级数。5求斐波那契数列{Fn}的通项，其中f1=1，f2=1，fn=fn-1fn-2 。斐波那契数列的第一项是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…这个系列有非常广泛的应用。
斐波那契数列满足的差分方程为Fn-Fn-1-Fn-2=0，其特征方程为2–1=0，其根为1=，2= 。利用12，差分方程可以写成Fn-(1 2)Fn-1 12Fn-2=0，即FN- 1FN-1 。9实践证明，若数列{ 0 }满足二阶差分方程，且其特征方程由两个不等根组成，则它是差分方程的两个特解。所以，它的一般解法是。从习题9，若二阶差分方程的特征方程有两个不等根，写出其通解的通式。那么系数就可以用的值来求解，就可以写出差分方程的特解了。练习10求斐波那契数列的通项并证明。那么，如果二阶线性齐次差分方程有两个相等的根，如何求解呢？设二阶线性齐次差分方程的特征方程有两个相等的根，那么差分方程可以写成。差分方程两边同时除以，有。设置，然后(n=3) 。由于这个公式适用于所有n=3的公式，我们将其改写为(n=1) 。(8.2)等式(8.2)左边是的二阶差分，所以有，所以是n的线性函数，如果设置了，就有。Yes是差分方程的通解。习题11证明，若数列{ 0 }满足的三阶差分方程的特征方程由三个等根组成，则差分方程的通解为。一般设，是差分方程特征方程的所有不同解，且它们的重数为，则差分方程对应于根(I=1，2，L)的特解。对于一般的k阶齐次线性差分方程，我们可以通过其特征方程得到上述形式的k个特解，进而得到差分方程的通解。练习12如果数列{}满足差分方程，求{}的通项。如果实系数差分方程的根是虚数，其解也用虚数表示，给讨论带来不便。差分方程xn-2xn-1 4xn-2=0的本征值为I，如果x1=1，x2=3，特解可以通过下面的程序很容易地得到：xn=() (1i) n (-) (1-i) n clear [x1，x2，C1，C2，L1，L2，解] 。x1=1；x2=3；solution=Solve[1^2-2l 4==0，1]；l1=l/ 。解[[1，1]]；l2=l/ 。解[[2，1]]；c=求解[{ C1 * L1 c2*l2==x1,c1*l1^2 c2*l2^2==x2},{c1,c2}]；C1=Simplify[Re[C1]]Simplify]* I；C2=Simplify[Re[C2]]Simplify]* I；Print [“xn=(“，c1，”) (“，l1，”)n(“，c2，”) (“，l2，”)n”]解的形式相当复杂。它们可以用实数来表示吗？设=rei，则=re，我们可以将(8.4)中的表达式改写为Xn=RE(2e)N RE(2e)\ N=R=2 rcos()=(2 rcos)=可见，通项可以写成一种形式。那么，和是差分方程的一个特解吗？练习13验证sum是差分方程(8.3)的特解。对于差分方程(8.3)，我们找出其实形式的两个特解，这样通解就可以表示为实数。这种方法对一般方程也是有效的。练习14将两个特征值设置为。证明这个差分方程的通解可以表示为。习题15用实数表示差分方程的特解。上次，我们讨论了二阶线性差分方程。习题16若已知非齐次线性差分方程(8.5)的一个特解，则证明：若已知，则满足齐次差分方程。根据练习16，如果已知非齐次线性差分方程(8.5)的一个特解，它可以转化为一个齐次线性差分方程。显然，方程(8.5)最简单的形式是(其中p是常数)，p是常数。
在(8.5)中，让有一个原因，有一个结果。这样，原来的非齐次线性差分方程可以转化为齐次线性差分方程。如果方程(8.5)的平衡值不存在，方程(8.5)中的N全部可以用N ^ 1代替，用减法得到(8.6)方程(8.6)和(8.5) 。因此，原非齐次线性差分方程可以转化为高阶齐次线性差分方程。练习17分别求差分方程和的通解。2.3代数方程的根是由斐波那契数列的性质决定的，可以用它来近似，近似值可以用这个性质来计算。一般a0的近似值可以通过构造差分方程得到。对于给定的正数A，设1=和2=，则1和2是方程2-2 (1 a)=0的根。这个方程是差分方程的特征方程。因此，选择可以通过使用差分方程来构造序列{} 。习题18证明：若a1，对任意0，0，if，用上述方法构造的数列{}满足。这样，我们得到一个计算方法：1 。给定(作为误差控制)，取任意初始值，设n=1；2.如果是，则终止计算并输出结果；否则，设n:=n ^ 1，转到步骤3；3.让，转到步骤2 。习题19对于a=1.5，10，12345，用上面的方法求。上面的方法收敛速度不够快，我们可以改进。设整数U满足，那么，设是方程的两个根。练习20，根据上面差分方程的分量序列{x}，使。练习21对于练习19中的A，使用上面的两种方法比较了收敛速度。代数方程(8.7)是差分方程(8.1)的特征方程。可以用这个差分方程解方程(8.7)吗？设方程(8.7)有k个互为满足的不同根，对应差分方程(8.8)的一般解形式为。练习22设方程(8.7)的根满足条件(8.8)，用差分方程(8.1)(取b=0)构造一个数列{} 。如果通解中的系数0，那么我们就可以找到绝对值最大的多项式方程的根。练习23求绝对值最大的方程的根。事实上，如果方程(8.7)的互不相同的根满足 …(它们的重数分别为)，练习22中的结论仍然成立。2.4国民收入4国民收入的稳定性一个国家的国民收入可以用于消费、再生产投资等。一般来说，消费和再生产投资不应该是无限的。合理控制各部分的投资可以使国民经济处于良性循环之中。如何匹配各部分投资的比例，使国民经济处于稳定状态？这是本节要讨论的问题。首先，我们给出一些假设：1 。国民收入用于消费、再生产投资和公共设施建设。2.分别记录K周期的国民收入水平和消费水平。的价值与前一周期的国民收入成正比。即=A，(8.9)其中A是常数(0.3) 。第k个周期用于再生产的投资水平取决于消费水平的变化，即(8.10) 4.g代表政府对公共设施的支出，设g为常数。假设1认为。(8.11)以上方程是差分方程，给定值后可直接计算。7如果是，可通过计算获得表8.3中的数据。表8.3Y K2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 24.5 35.8 39.1 32.9 20.3 7.48 0.95 3.93 15.0 K12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 28.5 37.8 38.2 29.5 16.0 4 . 58 0.82 6.65 19.2 32.1我们可以绘制程序y1=2；a=0.5b=2；g=10y={y0，y1 }；对于[k=1，k=20，k，Y2=a(1b)* y1-b * a * y0 g；Y=Append[y，y2]；0=y1，y1=y2] ylistplot [y，plot joined true，plot style thickness [0.012]]图8.1国民收入的变化由图8.1发现，例7得到的数据有周期性变化的迹象。练习24 。对于表8.4中的参数A和B，计算(k=2，3，)并画图观察变化。
表8.4参数A，b的取值A 1/21/21/28/99/103/44/5b 1231/21/233可以看出，国民收入水平(k=2，3，…)的稳定性呈现出参数取值不同的状态。那么，当参数满足什么条件时，国民收入水平处于稳定发展状态呢？差分方程(8.11)是一个常系数的非齐次线性差分方程。从A1很容易找到其平衡值为凌，其特征值为if为处的振幅角。所以差分方程的解是常数。如果很容易看出{}是周期函数在-中的值，那么{}就处于周期变化的状态。如实施例7所示。练习25如果是，讨论{}的变化趋势。国民收入会稳定发展吗？练习26如果是，在什么条件下国民收入会稳定发展？本实验涉及的Mathematica软件语句的解释1 。解=求解[1 ^ 2-2 ^ 4==0，1]；l1=1/ 。解[[1，1]]；l2=l/ 。解[[2，1]]；将方程的两个根L2-2l4==0赋给l1和L2.2.c=solve [{C1 * L1C2 * L2==x1，C1 * L1 2C2 * L2 2==x2}，{C1，C2 }]；{c1，c2}={c1，c2}/ 。c[[1]]；将方程{c1 * L1 C2 * L2==x1，c1 * L1 2c2 * L2 2==x2}的解赋值给c1和c 2.3 . c1=simplify[re[C1]]simplify]* I化简复数C1 。