论文《Calibration-based phase-shifting projected fringe profifilometry for accurate absolute 3D surface profifile measurement》的翻译（和学习） 目录
1. 介绍
2. 测量原则
2.1 基本定义和假设
2.2 基于标定的移相表面测量
2.3 相位-深度关系
3. 系统校准
3.1 横向校准
3.2 相位-深度校准
4. 试验结果
5. 结论
致谢
附录 A
参考文献
—————————————————————————————————————————————————— 【摘要】 在此文章中，介绍了一个精确测量3D表面的基于标定和移相的精确标定方法，此方法对每个检测位置的系统的曲折分别进行校准。因此，此方法的精确度要高于基于常规全局系统模型的标定技术。通过跟蔡司通用精密测量中心(UPMC 550型)的数据对比试验结果发现，碗大小物体（直径约160毫米，深度约40毫米）的绝对测量精度约为5μm。此试验结果证明，事实上，基于标定和移相的测量技术的精确度足够在精密工程表面（如齿轮规格表面）测量中使用。 @2002 Elsevier Science B.V. 保留所有权利。 【关键词】投影光栅轮廓测定法；移相技术；3D表面轮廓测量 —————————————————————————————————————————————————— 1. 介绍 发Phase-shifting projected fringe profifilometry (PSPFP)（移相投影光栅轮廓测定法）是为了检查粗糙的工程表面三维表面轮廓的一个强大的工具[1-7]。采用相移检测方案，即使在图像噪声过大的情况下，也能在数万个视场中获得更好的精度。在许许多多表面测量应用中，PSPFP有以下几个值得注意的优势，分别是非接触型、全区域测量能力、表面高采样密度、低环境脆弱性。
非远心PSPFP系统由于其处理相对较大的视场的能力而被广泛使用[8]。 然而，还没有系统的方法用来准确地描述这类系统中的非线性相位-深度关系。相位-深度转换中的不确定性会导致最终的测量误差并且在很多情况下变成限制因素[9]。测试对象的横向几何结构很有用，因此还有一种情况发生了。在PSPFP的主要形式中，只能精确确定采样表面点的深度位置，而不是其横向位置[1,8]。在许多以前报道的作品中，图像横向几何学常被用来近似物体的横向几何。不幸的是，对于大多数现成的相机来说，当成像系统承受相当大的失真时，这种方法失败了。在不解决这些问题的情况下，PSPFP的使用仅限于简单的是通过还是故障的检查。
造成上述问题的原因可能是由于PSPFP最初不是为了精确、绝对的形状测量而开发的。最近报道了一些结合照相测量法和PSPFP技术的方法来试图解决这些问题[10-14]。这些技术主要基于照相测量法的理论框架并且需要至少两个照相机或两个投影仪。所以它们的适用性被限制在所测量的区域必须同时对照相机和投影仪都可见的应用中。当系统紧凑性成为关键设计准则时，双摄像机或双投影仪配置也是不优选的。当然，可以使用减小三角角度来缓解这两个问题。但是这将付出降低测量灵敏度的成本。
本文提出了一种精确的基于定标的相移测量方案，用于确定物体的绝对形状。它采用传统的单摄像机和单投影仪配置，使测量具有更高的灵活性，在硬件实现上更紧凑。在直接类似于双平面校准方案的情况下，该技术针对每个检测位置单独地表征系统失真。这种方法有效地考虑了局部失真效应，因此可能比依赖于全局系统模型的那些更精确。估计系统参数需要线性优化来保证数值解的稳定。最后，校准过程的系统模型包含检测平面不垂直于成像透镜的光轴的情况。这使得目前的技术特别适用于某些特殊配置的测量系统，如精密齿轮测量和大规模轮廓检查。
2. 测量原则
2.1 基本定义和假设 【【论文翻译】《投光栅到3D表面条件下基于标定和移相的表面测量》】图1显示典型非远心PSPFP测量系统中的坐标系。世界坐标系xyz是一个固定的参考系统，用来表示被测物体的形状。检测平面坐标系RC是在CCD检测平面上定义的，轴R和C分别平行于传感器阵列的行和列方向。选择rc坐标系的原点作为左上角像素的中心。摄像机坐标系的原点，UVW，是成像透镜的光心。轴W与成像透镜的光轴重合。光栅坐标系的原点是一个特别标记的点，其中绝对相位被指定为零。光栅位于XgYg平面，边缘垂直于轴Xg。投影仪坐标系的定义简单，因为它与摄像机坐标系的相似性。
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通过应用旋转矩阵和平移向量,点可以从一个参考系统映射到另一个参考系统。例如，检测平面坐标中的点(R，C)由相机参考系统中的(u，v，w)表示，两组坐标将由以下等式决定：
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这里，上标的符号D和C分别表示检测平面和相机坐标系。这些符号的顺序表示坐标转换的方向。本公约也适用于今后的讨论。
在上述定义中，CCD检测平面不一定垂直于成像透镜的光轴。光栅平面也不一定垂直于于投影透镜的光轴。当倾斜地观察近的物体时，光栅平面和检测平面通常与物体表面大致共轭。当与物体的深度相比光学系统的景深变得有限时,这是特别必要的。除几何畸变外，假设成像和投影系统的其他像差已事先经过仔细校正。在实践中，这种假设通常是通过关闭相应的镜头来实现的。这样做可以显著地抑制与孔径大小的高阶幂次成比例的像差。图像点是指与主射线检测平面相交的点。为了在使用小孔径时补偿光线，可以增加CCD探测器上的曝光时间。和其它相移位置测量系统中一样，在目标点采样的相位值被假定为等于在其图像点采样的相位值。当正弦条纹被光学系统很好地分辨，并且系统的点扩散函数是对称的时，这个假设就成立了。
2.2 基于标定的移相表面测量 考虑在其中采样的绝对相位为U的世界坐标系中的任意曲面点(x,y,z)。根据上一节中给出的假设，检测平面中的图像点(R,C)处的绝对相位也是相同的。变量r，c，
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的关系为
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，(2.1)
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，(2.2)
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，(2.3)
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，
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和
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表示依赖于系统的非线性函数。当通过系统标定确定这些函数时，通过对上述非线性方程组的同时求解，可以得到(x,y,z)。等式(2.1)-(2.3)给出轮廓测量的抽象公式。为了实现这样一种方法，我们必须找到将测量量与未知量联系起来的显式约束。
等式(2.1)和(2.2)表示PSPFP系统成像臂的功能。畸变的成像过程通常由以下修正的射影变换来表示[15]，
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，(3）
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，
其中(u,v,w)表示一个扭曲的图像点，
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，
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和
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是由畸变引起的图像点的位移。符号W和C分别表示世界坐标系和摄像机坐标系。（在解释
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的含义时，应提醒读者注意上述公约。）
对于固定的检测位置
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，等式（3）左侧的术语变为两个常数。同时求解这些方程，我们可以将x和y表示为z的函数，也就是
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，
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，(4)
其中系数可以通过繁琐但简单的代数操作来计算。等式(4)示出了所有被成像到固定像素的点位于直线中,并通常被称为像素的视线[16]。从这些点发出的主射线以相同的入射角到达透镜系统的前表面。然后这些射线将遭受一系列相同的折射,并且将从透镜系统的后表面以相同的角度出现。在我们对图像点的定义下，这些点在固定的检测平面上产生相同的图像点。结合等式(2.3)和(4)能直接得到
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。(5)
等式(5)指出，在固定的探测位置上，测量相位只取决于深度位置
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。在设计合理的测量系统中，
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是一个可逆的单调函数。这使得我们可以将深度z表示为测量相位
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的函数，
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，(6)
其中
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是
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的逆函数，也是单调函数。
现在可以通过结合等式(4)和(6)说明拟议的轮廓测量方案，
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，
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，(7)
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。
根据公式(7)，可以通过从与横向坐标无关的
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中确定
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来清楚地找到表面点的未知坐标。因为已经知道
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，所以后两个方程可以很容易地从等式(7)的前两个方程中计算出来。通过仔细设计的系统校准，必须在测量前找到
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的功能形式和所涉及的所有系数。
值得强调的是
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的系数和函数形式随检测位置的变化而变化。这是一种非常有效的机制，可以解释局部失真效应。为了简单起见，这里省略了空间依赖性，但是应当理解。
2.3 相位-深度关系 在下一节中，我们将注意力集中在
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的函数构成。作为分析的第一步，我们在完美投影下推导出理想的相位-深度关系。为了提高逼近精度，还添加了一些解释各种扭曲的纠正术语。
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如图2所示，有完美投影下，投影正弦光栅中的等相线在投影仪的图像空间中产生了一组等相平面。当像素的视线顺序地穿透这些等相位平面时，在像素位置处观察到单调变化的相位值。对于相位值
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，对应的深度由像素的视线与恒定相位的平面相交的点的
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坐标给出。等相平面的方程可以用它们穿过相应的等相线和投影透镜的节点来获得。对于常相位为
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的直线
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，它的光栅平面表达式是
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，
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，(8)
其中K表示正弦光栅的波数。在投影仪参考系统中，它由
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，
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。(9)
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的投影产生的等相平面由下式给出
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，(10)
这里面
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，
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。
通过变换等式(4)成投影仪坐标系可以得到像素的视线，它是在世界坐标系下的一种表示形式。这就可以得到
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，
，(11)
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。
等式(11)中系数的表达式由于我们不感兴趣，所以略去。将等式（11）代入等式（10）得到了理想的相深关系，
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，(12)
其中
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，
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，
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，(13)
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。
在等式(12)中，z被用来表示所获得的关系是理想化的。等式(12)表明，
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是非线性的，即使投影系统没有畸变。这是发散投影过程的结果，因此在非远心系统中是固有的。非线性程度取决于
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和
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的相对大小。只有在
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时，线性逼近才有效。
在变形的影响下，等相表面略有弯曲。在位于
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的平面上，畸变的像点会发生横向位移并通过下式与理想图像点相关，
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，
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，(14)
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和
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分别表示图像点的位移，短杆下的变量是理想图像点的横向坐标。为了强调等式(10)中的横向坐标是在完美投影下得到的，我们用
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和
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替换它们，并重写等式(10)为
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。(15)
代等式(14)到等式(15)
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，(16)
其中
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和
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是省略写法。如附录A所示，
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和
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通常有以下形式，
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(17)
和
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(18)
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结合等式(11)-(18)，我们得到了
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的隐式表达式,
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。(19)
同样，为了简单起见，不给出系数
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和
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的表达式。等式(19)的第一部分可以被认为是理想的相深关系，而第二部分则来源于畸变。对于性能良好的系统，畸变图像点非常接近其理想对应点。这使我们能够在等式(19)的畸变项中用z代替
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。这种替换所产生的表达式是
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。(20)
将式(20)中与
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相关的系数标准化，我们可以将其简化为
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，（21）
其中带素数的系数表示归一化参数。将z替换为
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只会导致校正项中的高阶错误。这样小的误差可以通过随后的曲线拟合过程得到部分补偿，从而使逼近的精度更高。等式（21）中有11个待定系数，这意味着至少需要在不同深度进行11次校准。然而，该问题的复杂性可针对不同的系统配置进行调整。本主题将在下一节中重新讨论。
3. 系统校准 我们现在正在讨论在视线方程(4)和相位-深度关系(21)中寻找参数的经验方法。为了区分这两种处理，描述像素的视线的过程将称为横向校准，并且确定参数
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的过程将被称为深度-深度校准。
3.1 横向校准 在横向校准中，两个与X和Y方向平行的正弦光栅依次放置在z深度的平面上。组装这些时间上分离但空间上重叠的光栅的图像产生虚拟网格图案，虚拟网格图案用作横向校准中的度量标准。当在不同的深度位置连续生成和测量多个虚拟网格时，就会绘制出不同像素的视线。各个光栅中的两个条纹是特别标记的。虚拟网格中这些条纹的交点代表XY平面的原点。
当光栅位于深度z时，考虑任意像素的中心，测量其中未包裹相位
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和
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。根据第2.1节中给出的假设，将在成像到中心点的表面点处直接测量同一对相位。然后给出表面点的横向坐标
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，
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，(22)
其中
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和
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是各个光栅的波数。
采用正弦光栅作为标定目标具有多方面的优点。通过将相移检测技术结合到相位测量中，自动获得高度的精度。由于位置信息嵌入在连续的强度分布中，所以每个像素在相位采样中都可以独立工作。这导致非常高的空间采样密度，这对于测量局部失真效应是关键的。此外，当相位变化在CCD像素的检测孔径上近似线性时，区域采样等效于在像素的中心进行的点采样。在这种情况下，检测位置按照建议的轮廓测量方案的要求固定。当使用离散模式作为校准目标时，如果没有数值插值，这种要求很难满足，这很容易产生各种类型的误差。
在两个以上的深度位置上测量虚拟网格后，通过将测量数据拟合成一条直线来估计每个像素的视线。尽管两个坐标测量值足以满足此目的，但强烈建议使用冗余测量值来提高估计的可靠性。
3.2 相位-深度校准 在相位-深度校准中，通过投影光学将正弦波投影到垂直于
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方向的平面上。用相移算法测量了平面上的合成相位分布。当重复相位测量时，平面连续平移到不同深度位置并在达到某一极限位置时停止。以这种方式测量的相位图首先沿着横向方向展开，然后深度方向以恢复相位连续性信息。在此处理之后，在每个像素位置得到一系列的绝对相位和相关的深度，以便进行后续的曲线拟合。
由于
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对所涉及系数的非线性依赖性，对畸变相位-深度关系的估计相当复杂。我们需要采用迭代的方法来解决这些问题。在这种情况下总是遇到收敛和局部最小值问题。然而，如果我们分别估计式(21)中理想的相位-深度关系和畸变项，事情会简单得多。对于方程（21）的第一项所示的理想相深关系，我们可以将其重写为
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，(23)
通过选择
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，
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，1作为基函数，将
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，
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，
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的估计转化为一个线性问题。当有三对以上的相位和深度值可用于曲线拟合时，可用最小二乘估计
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，(24)
其中
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和
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。矩阵A，通常称为设计矩阵，由
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。
这里，下标
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表示矩阵转置，并且‘-1’表示矩阵反转。
一旦找到理想的相位-深度关系，我们可以基于迄今为止所获得的系数来估计剩余的系数。定义
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，
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，(25)
和
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，(26)
其中
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表示残差深度误差，我们可以重写等式(23)为
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，(27)
再次，估计问题被简化为线性估计问题。原则上，在等式(26)中显示的技术可用于适当构造设计矩阵A时的系数估计。但是，当
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接近奇异时，该方法会失效。在这种情况下，可以使用基于奇异值分解的更稳健的技术。
应该指出的是，在现有的参数估计问题中，自变量
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并不是无误差的，而因变量
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的测量精度通常要高得多，因此可以认为是准确的。在这种情况下，上述方法不能得到严格意义上的最优参数估计。然而，我们可以把这个问题当作一个等价的问题来处理，它的
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是精确的，
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是不精确的。在上述方法中也暗示了
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的等效测量误差近似高斯分布，具有零均值。
4. 试验结果 进行了实验以验证所提出的技术的有效性。如图3所示，使用两个广角镜头进行投影和成像。它举例说明了具有大量畸变的测量系统。在相位-深度校准期间，平移台沿深度方向产生运动。将正弦条纹图投影到平面上，CCD探测器在平面上获取图像。用相移算法测量了平面上的合成相位分布。当平面连续平移到不同深度时，重复相位测量。在进行深度校准时采用的平表面是由钢块制成的。通过化学蚀刻工艺，获得了足够的表面扩散率。用精度为0.1μm的海德汉长度计测量了平面和光栅的深度位置。
一旦确定了每个像素的相位-深度关系
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，我们就确定了视线方程中的参数。在横向校准中，两个条纹与X和Y方向平行的光栅依次放置在一个位于z深度的平面上。将这些时间分离但在空间上重叠的光栅的图像组合成一个虚拟网格模式，作为横向校准的度量标准。在图4的情况下，由ccd探测器捕获与x方向平行的条纹光栅的图像。当在不同的深度位置连续生成和测量多个虚拟网格时，就会绘制出不同像素的视线。
图5示出了两个选定像素处未包装相位与深度之间的测量关系的示例。使用五次多项式拟合来近似每个像素的相位-深度变换
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使用21个深度测量。在两个随机选择的像素处，深度和相应水平位置之间的测量关系如图6所示。同样，使用第五阶多项式拟合使用21个深度测量来近似变换。
在系统校准过程中，横向校准和相位-深度校准依次在指定的深度范围内进行。校准体积宽约180.0毫米，高约180.0厘米，深约50.0毫米。两个广角镜头分别以20倍和18倍放大倍数进行投影和成像。这些透镜被指向世界坐标系的横向平面，角度为35进行投影，15进行成像。一台1000像素的ccd摄像机和一个条纹周期为50 μm的投影正弦光栅被调整成与横向平面近似共轭的光栅。没有努力使它们垂直于各自透镜的光轴。
相位深度校准采用粗糙度约为10 μm的扩散平面，横向校准采用条纹周期为2.341 mm的Ronchi条纹图。图7示出了在检测平面的拐角处的典型像素的视线和将测量数据拟合到直线后的残余误差。此处显示的残余误差表明
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已开发的相位-深度校准和横向方案。利用此校准方案，对风机叶片进行了轮廓测量。图8(A)示出被测风扇叶片三维轮廓的一个透视图，图8(B)显示被测风扇叶片三维轮廓的另一个透视图。根据这两个附图，可以看出，所测量的3D轮廓真实地反映了风扇叶片的3D形状。为了对所提出的基于校准的相移投影条纹轮廓术具有定量的感觉，直径为大约160mm和深度为40mm的碗形物体S选定为测试对象。采用基于校准的相移投影条纹轮廓术和标准机械扫描仪（Zeiss通用精密测量中心，型号UPMC550）来测量 碗的三维表面轮廓。图9(A)和(B)分别显示了基于校准的相移投影条纹轮廓术和upmc 550测量的三维轮廓线。通过比较来自图1的结果。9(a)和(b)，发现两种方法之间的Absolution误差差异约为5μm。实验结果表明，该方法具有很好的精度。
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基于校准的相移投影条纹轮廓术的成功是由几个因素引起的。高抗噪性和高空间采样密度是两个主要因素。该技术能够在对机械夹具的最低要求下同时对整个表面进行取样。除了大大节省时间外，使用全现场检测技术的好处还包括大大降低环境脆弱性。由于剖面数据可以在很短的时间内采集（通常是一秒的一小部分），缓慢变化的环境变化不会对数据采集产生重大影响。此外，当测量到足够的校准数据时，拟合合适的多项式可以最小化相位到深度转换的不确定性，以及深度到水平/垂直位置转换的不确定性。在我们的实验中，校准数据包括21个测量值，这些测量值足够五阶多项式拟合以最小化和平滑数据噪声。尽管用于相深校准的扩散平面粗糙度为10μm，校准数据在各个方向上的总残差也在10μm左右，但在碗状物体表面测量中，我们仍然获得了5μm左右的很好精度。
5. 结论 总之，本文介绍了一种基于校准的相移测量技术，其中对每个位置的失真分别进行校准。该技术的主要优点是：(1)由于该技术仅使用一个照相机和一个投影仪配置进行校准，所以它提供了更高的灵活性的优点， 更紧凑性；(2)因为它独立地表征每个检测位置的系统失真，所以它有效地消除了局部失真的影响；(3)系统参数的估计只需要线性优化，从而可以容易地找到稳定的数值解；(4)校准过程包括检测平面不垂直于成像透镜光轴的情况。通过与UPMC 550实验数据的比较，发现碗形物体的消去误差在5μm左右。因此，所提出的方法具有很好的精度（5μm/180mm 
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），这使得在精密工程表面测量中有许多应用成为可能，如精密齿轮量规测量和大尺寸螺旋桨检查。
致谢 这项工作是在美国商务部、国家标准与技术研究所、先进技术计划、合作协议编号70NANB7H3022的支持下完成的。提交人还感谢宾夕法尼亚州立大学应用研究实验室的制造和维持技术研究所提供的支助。该研究所是一个非营利组织，由美国海军制造技术(ManTech)计划，海军研究室(合同编号N 00014-99-0005)赞助。本材料中所表达的任何意见、调查结果、结论或建议都是作者的意见，并不一定反映美国海军的观点。
附录 A 在下面的分析中，我们研究了当探测平面沿光学系统的光轴平移时，畸变是如何变化的。这一主题在过去还没有得到充分的探讨，尽管在大量的文献中可以找到固定探测平面上各种畸变的解析表达式。考虑到的畸变包括径向畸变、薄棱镜畸变和中心畸变，这是造成光学系统中最严重缺陷的原因。
严格的光线跟踪揭示了失真随物体位置和图像位置的变化而变化。对于PSPFP系统中的投影仪，光栅平面是固定的，但是被测量的物体可以占据延伸的轴向范围。当物体的轴向距离与标称物体距离相比不能忽略时，在投影系统的建模中需要考虑畸变的变化。为了说明如何进行此操作，我们以径向变形为例。
图10示出了包含未失真射线
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和其相关联的畸变射线
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的平面。这些射线与位于轴向位置
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和
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的两个平面相交，形成两个理想的像点
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和
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，以及两个变形的
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和
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。假设径向畸变系数
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和
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在
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和
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处已知。然后，可以找到
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和
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的径向失真
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(A.1)
和
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。(A.2)
从图中可以看出，在任意
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上的径向畸变是由
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。(A.3)
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然后在
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处的失真系数
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是然后
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(A.4)
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。(A.5)
测试对象的轴向范围往往比平均物体距离小得多，
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。
将式(A.5)的分母推广到泰勒级数，并保持二阶幂，我们可以将
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表示为
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(A.6)
等式(A.6)具有以下一般格式，
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(A.7)
将径向畸变分解成横向分量，我们有
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(A.8)
和
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。(A.9)
偏心和薄棱镜的畸变可以用类似的方法进行分析。在这两种情况下，由于非零切向畸变，理想光线和畸变光线不再共面。然而，与上述分析类似的分析仍然可以应用于这些畸变的每个横向分量。因此，
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和
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应被认为是理想光线和畸变光线在
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或
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平面上的投影。按照概述的步骤，我们可以得到轴向变化的变形的下列表达式，
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，(A.10)
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对于薄棱镜畸变，以及
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，(A.11)
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为了偏心变形。总畸变的横向分量为
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(A.12)
和
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，(A.13)
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应该提到的是，Abdel Aziz和Karara[17]使用了类似的方法来讨论径向畸变对物体距离的依赖性。然而，我们的分析是在第2.1节给出的图像点的广义定义下进行的，其结论可应用于所有三种主要畸变的横向分量。
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