概率论与数理统计复习概率论与数理统计

【概率论与数理统计复习】

摘自陈希孺版概率论，目录一致，也免得自己想了
事件的概率概率是什么主观概率
A={今天下午6时前会下雨}
特点：不是在坚实的客观理由基础上为人们所公认的
试验与事件

古典概率

概率的统计定义
概率的公理化定义

古典概率计算排列组合的几个简单公式

案例：详见书
事件的运算、条件概率与独立性事件的蕴含、包含及相等略
事件的互斥与对立

若两个事件 A,B 不能再同一次试验中都发生（但可以都不发生），则称它们是互斥的。如果一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的，或简称互斥的。
互斥的一个重要情况是“对立事件”，若 A 为一事件，则事件
B={A不发生}
称为 A 的对立事件，多记为 Aˉ

事件的和（或称并）

事件的积（或称交）、事件的差

条件概率
1.定义：
设有两事件 A,B 而 P(B)≠P(B) . 则“在给定 B 发生的条件下 A 的条件概率”记为 P(A|B) ,定义为：

P(A|B)=P(AB)/P(B)
事件的独立性，概率乘法定理

无条件概率 P(A) 与其在给定 B 发生之下的条件概率 P(A|B) ，一般是有差异的。这反映了这两件事件之间存在着一些关联。例如 P(A|B)>P(A) ，这 B 的发生使 A 的可能性增大了。
因此，满足：
P(AB)=P(A)P(B)
则称 A,B 独立
概率的乘法定理：两独立事件 A,B 的积 AB 的概率 P(AB) 等于其各自概率之积 P(A)P(B)
若干个独立事件的之积的概率，等于各事件概率的乘积

全概率公式与贝叶斯公式

设 B1,B2,? 为有限或无限个事件，它们两两互斥且在每次试验中至少发生一个。即：
BiBj≠?(不可能事件),当i≠j
B1+B2+?=Ω(必然事件)
有时把具有这种性质的一组事件称为一个“完备事件群”
由此得到全概率公式：
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+?
贝叶斯公式：
P(B|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)∑jP(Bj)P(A|Bj)
实际意义解释：
对于 P(B1),P(B2),? ,它是在没有进一步的信息（不知道事件 A 是否发生）的情况下，人么对于事件 B1,B2,? 发生可能性大小的认识。
现在有了新的信息（知道 A 发生），人们对于 B1,B2,? 发生大小的可能性有了新的估计。从这个角度看，事件 A 是“结果”，事件 B1,B2,? 是“原因”
因此全概率公式是“由原因推结果”，而贝叶斯公式是“有结果推原因”