欧几里德算法算法

欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
第一种证明：
a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

第二种证明：
要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b
下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）
设c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数
由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质（假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1
则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，
所以n ，m-qn一定互质）
则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
得证。

算法的实现：
最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：

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