题目大意
给定一个n和m个数（升序给定，满足1≤s1 < s2 < … < sm ＜ n）
你有无限个边长为正整数的正方形。你在数轴正半轴用正方形放在上面覆盖它。需满足：正方形恰好把0到n的区域覆盖完；不能翻转或叠置，且相邻两个正方形之间的缝隙坐标不能是m个数中任意一个。一个方案的贡献为所有正方形面积乘积。求贡献和模 109+7
【DP|[agc013E]Placing Squares】n≤ 109
m≤ 105
分析
这题的思路在之前打cc月赛用过。
直接dp难以优化，我们可以考虑这个贡献的意义是什么。你可以任意一个合法的方案是把数轴割成若干段，有m个位置不能作为边界，且每一段的贡献为：在这一段里枚举两个位置i,j的方案数。
那么我们可以对每一段单独dp：设f[i][j]表示前i个位置，确定下被枚举到的位置有j个（显然j=0,1,2）。然后矩阵乘法加速即可。
#include
#include
#include using namespace std;
const int N=1e5+5,mo=1e9+7;
typedef long long LL;
int n,m,g[4][4],f[4][4],c[4][4],p[N];
int a[4][4]={
{1,1,2,1},{1,1,2,1},{1,0,1,1},{1,0,0,1}
};
int b[4][4]={
{0,1,2,1},{0,1,2,1},{0,0,1,1},{0,0,0,1}
};
char ch;
int read()
{
int x=0,sig=1;
for (ch=getchar();
ch<'0' || ch>'9';
ch=getchar()) if (ch=='-') sig=-1;
for (;
ch>='0' && ch<='9';
ch=getchar()) x=x*10+ch-48;
return x*sig;
}void mulg()
{
memset(c,0,sizeof(c));
for (int i=0;
i<4;
i++) for (int k=0;
k<4;
k++) for (int j=0;
j<4;
j++)
c[i][j]=(c[i][j]+(LL)g[i][k]*f[k][j])%mo;
memcpy(g,c,sizeof(g));
}void mulf()
{
memset(c,0,sizeof(c));
for (int i=0;
i<4;
i++) for (int k=0;
k<4;
k++) for (int j=0;
j<4;
j++)
c[i][j]=(c[i][j]+(LL)f[i][k]*f[k][j])%mo;
memcpy(f,c,sizeof(f));
}void mula()
{
memset(c,0,sizeof(c));
for (int i=0;
i<4;
i++) for (int k=0;
k<4;
k++) for (int j=0;
j<4;
j++)
c[i][j]=(c[i][j]+(LL)f[i][k]*a[k][j])%mo;
memcpy(f,c,sizeof(f));
}void mulb()
{
memset(c,0,sizeof(c));
for (int i=0;
i<4;
i++) for (int k=0;
k<4;
k++) for (int j=0;
j<4;
j++)
c[i][j]=(c[i][j]+(LL)f[i][k]*b[k][j])%mo;
memcpy(f,c,sizeof(f));
}void quick(int x)
{
if (!x) return;
quick(x>>1);
mulf();
if (x&1) mula();
}int main()
{
n=read();
m=read();
g[0][0]=g[1][1]=g[2][2]=g[3][3]=1;
for (int i=1;
i<=m;
i++)
{
memset(f,0,sizeof(f));
f[0][0]=f[1][1]=f[2][2]=f[3][3]=1;
p[i]=read();
quick(p[i]-p[i-1]-1);
mulb();
mulg();
}
memset(f,0,sizeof(f));
f[0][0]=f[1][1]=f[2][2]=f[3][3]=1;
quick(n-p[m]);
mulg();
printf("%d\n",g[0][0]);
return 0;
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