玩一玩|超立方体及其可视化（Processing）线性代数|processing|图论

文章目录

1 超立方体
2 Processing实现可视化
3 拓展知识（图论）
4 参考资料

1 超立方体 ??百度百科对超立方体的描述：超立方体是数学中立方体的四维类似物，所谓的点动成线，线动成面，面动成体。在四维空间(非三维-时间概念)中，立方体的移动形成四维的超立方体，由无数个立方体所组成的，具有四维的观念。
??在几何学中，超立方体是立方体的四维类比，有8个立方体胞。四维超正方体之于立方体，就如立方体之于正方形。它是四维欧式空间中6个四维凸正多胞体之一。
??那么它的概念图呢，就长成下面这样。
【玩一玩|超立方体及其可视化（Processing）】

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??下面解释一下这个概念图是怎么来的。拿我们三维空间举例子，我们就生活在三维空间，我们眼中看到的景象全部都是物体在我们视网膜上的投影，也就是说我们眼中的其实是三维空间的物体到二维平面上的投影。借助这个思路，虽然我们没办法想象超立方体是什么样的，但是我们可以借助投影，将四维下的超立方体投影到三维空间下，我们不就能看见了么。所以上面这个概念图，它就是超立方体在三维空间下的投影。
2 Processing实现可视化 ??知道了它是投影来的，我们就可以用一些工具，来模拟一下这个投影，这里我用的是Processing，利用旋转矩阵旋转超立方体，运行出来就是下面这个样子。

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下面是代码，有兴趣的朋友可以自己下载一个Processing，运行一下玩一玩。

theta = 0 points = [] def setup(): size(1000, 800, P3D) global points # 四维空间下超立方体16个顶点的坐标 points =[[-100, -100, -100, 100], [100, -100, -100, 100], [100, 100, -100, 100], [-100, 100, -100, 100], [-100, -100, 100, 100], [100, -100, 100, 100], [100, 100, 100, 100], [-100, 100, 100, 100], [-100, -100, -100, -100], [100, -100, -100, -100], [100, 100, -100, -100], [-100, 100, -100, -100], [-100, -100, 100, -100], [100, -100, 100, -100], [100, 100, 100, -100], [-100, 100, 100, -100]]def draw(): global theta, points background(0) translate(width/2, height/2) rotateY(-PI/2)projected3d = [] for v in points: stroke(255) strokeWeight(16) noFill()# 一堆旋转矩阵 rotationXY = [[cos(theta), -sin(theta), 0, 0], [sin(theta), cos(theta), 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]] rotationXZ = [[cos(theta), 0, -sin(theta), 0], [0, 1, 0, 0], [sin(theta), 0, cos(theta), 0], [0, 0, 0, 1]] rotationXW = [[cos(theta), 0, 0, -sin(theta)], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [sin(theta), 0, 0, cos(theta)]] rotationZW = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, cos(theta), -sin(theta)], [0, 0, sin(theta), cos(theta)]] rotationYW = [[1, 0, 0, 0], [0, cos(theta), -sin(theta), 0], [0, 0, 1, 0], [0, sin(theta), 0, cos(theta)]] rotationYZ = [[1, 0, 0, 0], [0, cos(theta), -sin(theta), 0], [0, sin(theta), cos(theta), 0], [0, 0, 0, 1]]v = matmul(rotationXY, v) v = matmul(rotationZW, v)# 投影 w = 100 / (200 - v[3]) projection = [[w, 0, 0, 0], [0, w, 0, 0], [0, 0, w, 0]]v = matmul(projection, v) projected3d.append(v) point(v[0], v[1], v[2])for i in range(4): connect(0, i, (i+1) % 4, projected3d) connect(0, i+4, ((i+1) % 4)+4, projected3d) connect(0, i, i+4, projected3d)for i in range(4): connect(8, i, (i+1) % 4, projected3d) connect(8, i+4, ((i+1) % 4)+4, projected3d) connect(8, i, i+4, projected3d)for i in range(8): connect(0, i, i+8, projected3d)theta += 0.03# 连接点 def connect(offset, i, j, points): i, j = i + offset, j + offset stroke(255) strokeWeight(1) line(points[i][0], points[i][1], points[i][2], points[j][0], points[j][1], points[j][2])# 矩阵乘法 def matmul(a, b): rowsA, colsA = len(a), len(a[0]) res = [] for i in range(rowsA): n = 0 for j in range(colsA): n += a[i][j]*b[j] res.append(n) return res

3 拓展知识（图论） ??定义： k ? k- k?维立方体或超方体 Q k Q_k Qk?是一个简单图，其顶点是分量取自 { 0 , 1 } \{0,1\} {0,1}的所有 k ? k- k?元组，边是恰在一个位置上取不同值的 k k k元组对。 Q k Q_k Qk?的一个 j ? j- j?维子立方体是同构与 Q j Q_j Qj?的 Q k Q_k Qk?的子图。
??我们知道的正方体就是 Q 3 Q_3 Q3?，上面讲的超立方体就是 Q 4 Q_4 Q4?
??超方体是一种很自然的计算机结构。如果处理器对应于 Q k Q_k Qk?中的邻接节点，则它们之间可以直接通信。用来命名顶点的 k k k元组可以视作处理器的地址
??超方体的结构： Q k Q_k Qk?中顶点的奇偶性是由该顶点的名字中包含的1的个数的奇偶性而决定的。 Q k Q_k Qk?中每条边有一个偶端点和一个奇端点。因此，偶顶点构成一个独立集，奇顶点也构成一个独立集，进而 Q k Q_k Qk?是一个二部图。
?? k k k元组的每个分量可以取两个值，所以 n ( Q k ) = 2 k n(Q_k)=2^k n(Qk?)=2k。对于一个顶点，确定其名字中的一个位置并将该位置的值修改成另一个值，就可以得到它的一个相邻顶点。于是， Q k Q_k Qk?是 k ? k- k?正则的。由于含有 n n n个顶点的 k ? k- k?正则图有 n k / 2 nk/2 nk/2条边，所以 e ( Q k ) = k 2 k ? 1 e(Q_k)=k2^{k-1} e(Qk?)=k2k?1
4 参考资料