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雷诺运输定理笔记

算法

【雷诺运输定理笔记】今天看到了雷诺运输定理(Reynolds transport theorem)，想了想好像和带参变量的求导公式很像。于是自己推了推，并拿人口平衡方程population balance equation试了试手，记个笔记。
雷诺运输定理
d d t ∫ Ω ( t ) f ( x , t ) d V = ∫ Ω ( t ) ? f ( x , t ) ? t d V + ∫ ? Ω ( t ) ( v ? n ) f ( x , t ) d A \frac{d}{d t} \int_{\Omega(t)} f(x, t) d V=\int_{\Omega(t)} \frac{\partial f(x, t)}{\partial t} d V+\int_{\partial \Omega(t)}(v \cdot n) f(x, t) d A dtd?∫Ω(t)?f(x,t)dV=∫Ω(t)??t?f(x,t)?dV+∫?Ω(t)?(v?n)f(x,t)dA
记(,)为物质的量函数，()为物质所在的空间，它会随时间变化，且拥有光滑的边界()。则关于f的微分如同上式，这个就是雷诺运输定理。,为x的体积元和表面积元，v为速度场函数（不是单纯的流速），当(,)为向量的时候，(,)为向外指向的正单位向量；
特殊形式 当与时间无关的时候，速度场函数v=0，则原式退化为
d d t ∫ Ω f ( x , t ) d V = ∫ Ω ? f ( x , t ) ? t d V \frac{d}{d t} \int_{\Omega} f(x, t) d V=\int_{\Omega} \frac{\partial f(x, t)}{\partial t} d V dtd?∫Ω?f(x,t)dV=∫Ω??t?f(x,t)?dV
更进一步，将f退化为一维，并假设∈[(),()]，则有下式，这个就是带参变量的积分求导公式。
d d t ∫ a ( t ) b ( t ) f ( x , t ) d x = ∫ a ( t ) b ( t ) ? f ( x , t ) ? t d x + ( ? b ( t ) ? t f ( b ( t ) , t ) ? ? a ( t ) ? t f ( a ( t ) , t ) ) \frac{d}{d t} \int_{a(t)}^{b(t)} f(x, t) d x=\int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f(x, t)}{\partial t} d x+\left(\frac{\partial b(t)}{\partial t} f(b(t), t)-\frac{\partial a(t)}{\partial t} f(a(t), t)\right) dtd?∫a(t)b(t)?f(x,t)dx=∫a(t)b(t)??t?f(x,t)?dx+(?t?b(t)?f(b(t),t)??t?a(t)?f(a(t),t))
推导高维PBE 先写一条通过化学粒子式推出来的PBE吧，这里c是物质的密度，t是时间，J是物质流，x是物质的位置，f相当于一个密度变化的外在影响函数，和x,t,c有关
? c ( x , t ) ? t = ? ? J ( x , t ) ? x + f ( x , t , c ) \frac{\partial c(x, t)}{\partial t}=-\frac{\partial J(x, t)}{\partial x}+f(x, t, c) ?t?c(x,t)?=??x?J(x,t)?+f(x,t,c)
进入到高维时，直接考虑区域()内的生灭过程，有：
d d t ∫ Ω ( t ) c ( x , t ) d V = ∫ Ω ( t ) f ( x , t , c ) d V ? ∫ Ω ( t ) ? ? t c ( x , t ) d V + ∫ Ω ( t ) ? x v ( x , t ) c ( x , t ) d V = ∫ Ω ( t ) f ( x , t , c ) d V ? ∫ Ω ( t ) ? ? t c ( x , t ) + ? x v ( x , t ) c ( x , t ) ? f ( x , t , c ) d V = 0 ? ? ? t c ( x , t ) = ? ? v ( x , t ) c ( x , t ) + f ( x , t , c ) \frac{d}{d t} \int_{\Omega(t)} c(x, t) d V=\int_{\Omega(t)} f(x, t, c) d V \\ \Rightarrow \int_{\Omega(t)} \frac{\partial}{\partial t} c(x, t) d V+\int_{\Omega(t)} \nabla_{x} v(x, t) c(x, t) d V=\int_{\Omega(t)} f(x, t, c) d V \\ \Rightarrow \int_{\Omega(t)} \frac{\partial}{\partial t} c(x, t)+\nabla_{x} v(x, t) c(x, t)-f(x, t, c) d V=0 \\ \Rightarrow \frac{\partial}{\partial t} c(x, t)=-\nabla v(x, t) c(x, t)+f(x, t, c) dtd?∫Ω(t)?c(x,t)dV=∫Ω(t)?f(x,t,c)dV?∫Ω(t)??t??c(x,t)dV+∫Ω(t)??x?v(x,t)c(x,t)dV=∫Ω(t)?f(x,t,c)dV?∫Ω(t)??t??c(x,t)+?x?v(x,t)c(x,t)?f(x,t,c)dV=0??t??c(x,t)=??v(x,t)c(x,t)+f(x,t,c)
这就是高维形式的PBE了，和一维情形相同，该方程也需要补充初始条件和边界值， 初始条件必须明确规定颗粒在颗粒状态空间中的分布。 对于其中粒子全部具有相同内部状态的特定情况，我们可以使用狄拉克函数，即对于?_0，有：
{ δ ( x ? x 0 ) = 0whenx ≠ x 0 ∫ Ω x f ( x ) δ ( x ? x 0 ) d V x = f ( x 0 )e l s e \left\{\begin{array}{l} \delta\left(x-x_{0}\right)=0 \quad \text { when } x \neq x_{0} \\ \int_{\Omega_{x}} f(x) \delta\left(x-x_{0}\right) d V_{x}=f\left(x_{0}\right) \ \text else \end{array} \right. {δ(x?x0?)=0 when x?=x0?∫Ωx??f(x)δ(x?x0?)dVx?=f(x0?) else?
还有一些边界条件的讨论，和雷诺运输定理没有关系，按下不表了。
虽然不会写latex但是有很多现成的转换工具，用latex会好看很多吧。
参考文献：
https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_transport_theorem

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