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【MindSpore:跟着小Mi一起机器学习】那些我们快要遗忘的线性代数知识点

一周未见，动力不减！小Mi又带着知识点和大家见面啦！（敲黑板~）
上周小Mi带着大家简单地学习了机器学习的概念，还有其常见的两个大类，监督学习和无监督学习，这次小Mi决定跟大家一起复习下机器学习中常用的线性代数知识。话说矩阵、向量还记得不，逆和转置到底是什么玩意儿？你的大学老师是不是已经哭晕在厕所了？没关系，今天的知识点简单到小学生都会，跟着小Mi一起学习吧！
1 向量和矩阵
1.1 矩阵
首先，上定义！矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合（我们就简单点，暂时只考虑实数哈)，由m×n 个数排成的m行n列的矩阵，简称m×n矩阵，记作：
则表示第i行，第j列的元素。
为了方便大家更加直白地理解，依旧是老样子，上例子！
这个是4×2的矩阵，即4行2列。=1402,=191 ,=1437，而由于这个矩阵一共就只有4行2列，所以第四行第三列的数则是不存在的啦。
从计算机角度来看，矩阵提供了一种很好的方式，能够让你快速整理、索引和访问大量数据，是不是很棒！
1.2 向量
谈到向量，其实向量就是一种特殊的矩阵，只有一列（一般默认为列向量），即n×1的矩阵。上例子：
该向量为4维列向量（4×1），所以矩阵和向量理解起来是不是很简单~
另外有两个知识点需要稍加注意一下子！
知识点一：
通常情况下，向量有从1起始的索引向量和从0起始的索引向量，如下图：
一般选用从1开始的索引向量，简单点可以看作编程语言中的数组，数组就是从1开始排序的，而数组的元素一般是y[1]、y[2]，这种下标从1开始的在绝大多数数学表达式中也是更加常见的。所以，除非特别指定，正常默认使用是从1开始的索引向量哈。
知识点二：
通常情况下，用大写字母如A、B、C、X等来表示矩阵，而通常使用小写字母a、b、x、y等表示数字或标量或向量。也就是说，小写表示向量，大写字母表示矩阵。大家都听明白了不（你的线性代数老师又上线敲黑板啦）！
2 矩阵的简单运算
2.1 加法和标量乘法
这一趴我们主要研究矩阵的各种运算，首先从简单的开始说起，矩阵的加减法运算以及数和矩阵的乘法，也就是标量乘法运算。
矩阵的加法，看示例：
也就是说，矩阵的加法意味着，两个矩阵的每一个元素都逐个相加，这句话暗示的条件是只有相同维度的两个矩阵才能相加，即两个矩阵的行列数都是相同的，那么结果就是行列数相等的各个元素相加得到的一个新矩阵。
而标量乘法运算其实也是类似，说白了也是将矩阵中的所有元素都逐一相乘就欧凯啦~
当然啦，接下来如果出现稍微复杂一点的组合运算相信大家也是可以完成的！
2.2 矩阵和向量相乘
好了，下面有点难度了，涉及到矩阵和向量相乘的话，结果又是什么样的呢？For example：（小Mi想拽下英语大家没问题吧）
一个2×2的矩阵与2×1的矩阵相乘，得出的结果是一个2×1的矩阵，所以首先结果是一个两行1列的矩阵。然后每个元素的计算过程如下：
矩阵的第一行元素与向量分别计算：1×1+2×2=5
矩阵的第二行元素与向量分别计算：1×3+4×2=11
因此，总结来说：矩阵A与向量x相乘便会得到一个向量y。矩阵A是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的矩阵，两者相乘得到一个m维的向量，这里n是一定要匹配的，也就是说A的n列要与x的n行是一致的，m则为矩阵A的行数。
下面带入一个情景模式方便大家理解一下，假设我们有四间房子（Oh，又是小Mi心心念念的房子），这四间房子一共有四种大小，分别是100，89，105，128平方米，现在有个函数：h(x)=30+0.25x可以预测房子的价格,计算出每个房子对应的h(x)。
这个时候，小Mi教大家用矩阵向量相乘的方法做一下：
2.3 矩阵乘法
假设有两个矩阵A和B，m×n矩阵乘以n×o矩阵，变成m×o矩阵，那么他们的乘积就可以表示为图中的形式
先提取矩阵A的第一行与B的第一列进行向量相乘计算，然后A的第一行不变，提取B的第二列进行向量相乘运算，再接着单独提取A的第二行分别与B的第一、二列进行计算。这其中需要注意的是，两个矩阵能够相乘必须满足矩阵A的列数与B的行数相匹配这样一个条件。（矩阵乘法的动态演示：https://www.bilibili.com/vide...）
同样，带入情景，预测4间房子的价格，面积分别为100，89，105，128平方米，有三种假设都用来预测价格，,那么最终可以上得到12个基于三种假设的四间房子的价格。
小Mi再插句嘴，是不是发现矩阵运算十分高效，可以基于多个假设做计算？Oh，简直太棒了！
2.4 矩阵乘法特征
标量的运算是可以颠倒乘法运算中变量的顺序的，但是这一点并不能应用在矩阵乘法中。
即
举例：
但是，矩阵的乘法满足结合律。即：
当处理实数或标量的时候，数值1可以看作一个乘法单位，对于任何实数Z，1×Z=Z×1。同样，在矩阵空间中，也有一个单位矩阵I满足这样的特性，它的对角线上都是1，其余为0。
对于单位矩阵而言，,但是这里需要注意的是，可能对应I的维度会存在不一样的情况。
2.5 逆和转置
最后小Mi还想给大家介绍一些特殊的矩阵运算，比如矩阵的逆运算和转置运算。
做个类比，实数中1、3的倒数分别是1、1/3（当然啦，0没有倒数），而逆运算就相当于求矩阵的倒数，因此也不是所有的矩阵可以进行逆运算，只有m×m矩阵，也就是方阵才会存在。即：
那么如何求逆矩阵呢？这边的话，小Mi真的很感谢强大的用开源库，简单的代码便可以实现调用，直接求解求解逆矩阵！
还有另一种矩阵的特殊运算，叫做矩阵的转置计算：
假设A为m×n阶矩阵，第i行j列的元素 ，即 ，而B为n×m阶矩阵，满足 ，即 ，也就是说B的第i行j列元素是A的第j行i列元素。记 。
直观来看：
【【MindSpore:跟着小Mi一起机器学习】那些我们快要遗忘的线性代数知识点】好啦，以上便是今天小Mi带来的简单矩阵知识点，虽然简单，但是小Mi认为千里之堤，溃于蚁穴，想要学好机器学习，各种基础知识还是需要建立和完善的（是不是不太适应小Mi这么严肃地讲话！）。今天小Mi的讲解就到这啦，下期我们将一起学习线性回归算法，有没有很期待？！我们下期见呦~

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