交叉熵损失函数原理详解

交叉熵损失函数原理详解

  • 之前在代码中经常看见交叉熵损失函数(CrossEntropy Loss),只知道它是分类问题中经常使用的一种损失函数,对于其内部的原理总是模模糊糊,而且一般使用交叉熵作为损失函数时,在模型的输出层总会接一个softmax函数,至于为什么要怎么做也是不懂,所以专门花了一些时间打算从原理入手,搞懂它,故在此写一篇博客进行总结,以便以后翻阅。
交叉熵简介
  • 交叉熵是信息论中的一个重要概念,主要用于度量两个概率分布间的差异性,要理解交叉熵,需要先了解下面几个概念。
信息量
  • 信息奠基人香农(Shannon)认为“信息是用来消除随机不确定性的东西”,也就是说衡量信息量的大小就是看这个信息消除不确定性的程度。
  • “太阳从东边升起”,这条信息并没有减少不确定性,因为太阳肯定是从东边升起的,这是一句废话,信息量为0。
  • ”2018年中国队成功进入世界杯“,从直觉上来看,这句话具有很大的信息量。因为中国队进入世界杯的不确定性因素很大,而这句话消除了进入世界杯的不确定性,所以按照定义,这句话的信息量很大。
  • 根据上述可总结如下:信息量的大小与信息发生的概率成反比。概率越大,信息量越小。概率越小,信息量越大。
  • 设某一事件发生的概率为P(x),其信息量表示为:

    其中I(x)I(x)表示信息量,这里loglog表示以e为底的自然对数。
信息熵
  • 信息熵也被称为熵,用来表示所有信息量的期望。
  • 期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
  • 所以信息量的熵可表示为:(这里的X是一个离散型随机变量)

  • 使用明天的天气概率来计算其信息熵:
序号 事件 概率P 信息量
1 明天是晴天 0.5
2 明天出雨天 0.2
3 多云 0.3

对于0-1分布的问题,由于其结果只用两种情况,是或不是,设某一件事情发生的概率为P(x),则另一件事情发生的概率为1?P(x),所以对于0-1分布的问题,计算熵的公式可以简化如下:

相对熵(KL散度)
如果对于同一个随机变量X有两个单独的概率分布P(x)和Q(x),则我们可以使用KL散度来衡量这两个概率分布之间的差异。
【交叉熵损失函数原理详解】下面直接列出公式,再举例子加以说明。

在机器学习中,常常使用P(x)来表示样本的真实分布,Q(x)来表示模型所预测的分布,比如在一个三分类任务中(例如,猫狗马分类器),x1?,x2?,x3?分别代表猫,狗,马,例如一张猫的图片真实分布P(X)=[1,0,0], 预测分布Q(X)=[0.7,0.2,0.1],计算KL散度:
交叉熵损失函数原理详解
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KL散度越小,表示P(x)与Q(x)的分布更加接近,可以通过反复训练Q(x)来使Q(x)的分布逼近P(x)。
交叉熵
首先将KL散度公式拆开:
交叉熵损失函数原理详解
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前者H(p(x))表示信息熵,后者即为交叉熵,KL散度 = 交叉熵 - 信息熵
交叉熵公式表示为:

在机器学习训练网络时,输入数据与标签常常已经确定,那么真实概率分布P(x)也就确定下来了,所以信息熵在这里就是一个常量。由于KL散度的值表示真实概率分布P(x)与预测概率分布Q(x)之间的差异,值越小表示预测的结果越好,所以需要最小化KL散度,而交叉熵等于KL散度加上一个常量(信息熵),且公式相比KL散度更加容易计算,所以在机器学习中常常使用交叉熵损失函数来计算loss就行了。
交叉熵在单分类问题中的应用
在线性回归问题中,常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数,而在分类问题中常常使用交叉熵作为loss函数。
下面通过一个例子来说明如何计算交叉熵损失值。
假设我们输入一张狗的图片,标签与预测值如下:
*
Label 0 1 0
Pred 0.2 0.7 0.1
那么loss

一个batch的loss为

其中m表示样本个数。
总结:
  • 交叉熵能够衡量同一个随机变量中的两个不同概率分布的差异程度,在机器学习中就表示为真实概率分布与预测概率分布之间的差异。交叉熵的值越小,模型预测效果就越好。
  • 交叉熵在分类问题中常常与softmax是标配,softmax将输出的结果进行处理,使其多个分类的预测值和为1,再通过交叉熵来计算损失。
参考:
https://blog.csdn.net/tsyccnh/article/details/79163834

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