回归|金融数值方法之回归计算-python实践金融|量化|python

python的回归学习前言回归和插值是金融中常用的两种数学方法，本章将介绍关于回归的一些常用方法和代码。
一、回归是什么回归是一种高效的求解函数近似值的工具，不仅对一维函数适用，同样也适用于高维函数。
最小化回归问题表达如下：

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在回归的计算中，常用的范式为np.polyfit()、np.polyval()、np.linalg.lstsq()。
二、回归计算的具体实现首先进行一些准备工作

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from pylab import plt,mpl plt.style.use('seaborn') mpl.rcParams['font.family']='serif'

def f(x): return np.sin(x)+0.5*x def create_plot(x,y,styles,labels,axlabels): plt.figure(figsize=(12,10)) for i in range(len(x)): plt.plot(x[i],y[i],styles[i],label=labels[i]) plt.xlabel(axlabels[0]) plt.ylabel(axlabels[1]) plt.legend(loc=0)

x=np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi,50) create_plot([x],[f(x)],['r'],['f(x)'],['x','f(x)'])

得到一个自定义的函数，如下所示：

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1.单项式的回归

res=np.polyfit(x,f(x),deg=1,full=True) print(res) print('-'*108) print(res[0])

得到参数

(array([ 4.28841952e-01, -5.29906205e-17]), array([21.03238686]), 2, array([1., 1.]), 1.1102230246251565e-14) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ [ 4.28841952e-01 -5.29906205e-17]

使用回归参数求值：

ry=np.polyval(res[0],x) ry

array([-2.69449345, -2.58451412, -2.4745348 , -2.36455548, -2.25457615, -2.14459683, -2.0346175 , -1.92463818, -1.81465885, -1.70467953, -1.5947002 , -1.48472088, -1.37474156, -1.26476223, -1.15478291, -1.04480358, -0.93482426, -0.82484493, -0.71486561, -0.60488628, -0.49490696, -0.38492764, -0.27494831, -0.16496899, -0.05498966, 0.05498966,0.16496899,0.27494831,0.38492764,0.49490696, 0.60488628,0.71486561,0.82484493,0.93482426,1.04480358, 1.15478291,1.26476223,1.37474156,1.48472088,1.5947002 , 1.70467953,1.81465885,1.92463818,2.0346175 ,2.14459683, 2.25457615,2.36455548,2.4745348 ,2.58451412,2.69449345])

create_plot([x,x],[f(x),ry],['b','r.'],['f(x)','regression'],['x','f(x)'])

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不太理想，使用五次单项式进行回归

res=np.polyfit(x,f(x),deg=5,full=True) ry=np.polyval(res[0],x) create_plot([x,x],[f(x),ry],['b','r.'],['f(x)','regression'],['x','f(x)'])

【回归|金融数值方法之回归计算-python实践】

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使用七次单项式进行回归：

res=np.polyfit(x,f(x),deg=7,full=True) ry=np.polyval(res[0],x) np.allclose(f(x),x)

False

false说明回归数值与原来的数值不是一样的。
计算mse

# mse计算 np.mean((f(x)-ry)**2)

0.00177691347595176

create_plot([x,x],[f(x),ry],['b','r.'],['f(x)','regression'],['x','f(x)'])

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2.单独基函数单独的基函数
np.linalg.lstsq
numpy.linalg.lstsq(a, b, rcond=‘warn’)
将least-squares解返回线性矩阵方程。
lstsq的输出包括四部分：回归系数、残差平方和、自变量X的秩、X的奇异值。一般只需要回归系数就可以了。

matrix=np.zeros((3+1,len(x))) matrix[3,:]=x**3 matrix[2,:]=x**2 matrix[1,:]=x**1 matrix[0,:]=x**0 reg=np.linalg.lstsq(matrix.T,f(x),rcond=None) reg[0].round(4)

ry=np.dot(reg[0].round(4),matrix) ry

array([-2.19670554, -2.20978519, -2.2100222 , -2.19796307, -2.17415429, -2.13914236, -2.09347378, -2.03769503, -1.97235262, -1.89799303, -1.81516277, -1.72440833, -1.6262762 , -1.52131289, -1.41006488, -1.29307866, -1.17090075, -1.04407762, -0.91315578, -0.77868173, -0.64120195, -0.50126293, -0.35941119, -0.21619321, -0.07215549, 0.07215549,0.21619321,0.35941119,0.50126293,0.64120195, 0.77868173,0.91315578,1.04407762,1.17090075,1.29307866, 1.41006488,1.52131289,1.6262762 ,1.72440833,1.81516277, 1.89799303,1.97235262,2.03769503,2.09347378,2.13914236, 2.17415429,2.19796307,2.2100222 ,2.20978519,2.19670554])

create_plot([x,x],[f(x),ry],['b','r.'],['f(x)','regression'],['x','f(x)'])

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不太理想，将基函数中引入sinx函数

matrix[3,:]=np.sin(x) reg=np.linalg.lstsq(matrix.T,f(x),rcond=None) ry=np.dot(reg[0].round(4),matrix)

np.allclose(f(x),ry)

np.mean((f(x)-ry)**2)

create_plot([x,x],[f(x),ry],['b','r.'],['f(x)','regression'],['x','f(x)'])

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3.有噪声的数据

# 有噪声的数据 xn=np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi,50) xn=xn+0.15*np.random.standard_normal(len(xn)) yn=f(xn)+0.15*np.random.standard_normal(len(xn))

reg=np.polyfit(xn,yn,7) ry=np.polyval(reg,xn) ry

array([-3.0627005 , -2.60200449, -2.38959333, -2.14942554, -2.01409671, -1.50484513, -1.226107, -1.17844569, -1.16512748, -1.23329004, -1.26882923, -1.38858866, -1.47419669, -1.59087693, -1.83814445, -1.81224556, -1.8320825 , -1.84258301, -1.60920776, -1.61014972, -1.38753972, -1.01243076, -0.97922089, -0.47757572, -0.26812475, 0.47485607,0.37666023,0.83580311,1.39354247,1.4589287 , 1.47395115,1.73692656,1.82542423,1.86622981,1.91271619, 1.82514849,1.62685373,1.71879336,1.54893674,1.29743082, 1.21692138,1.21670403,1.21887745,1.34122101,1.48378654, 1.68455375,2.39712865,2.67237991,3.06596453,3.46057519])

create_plot([xn,xn],[yn,ry],['b','r.'],['f(xn)','regression'],['xn','f(xn)'])

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4.未排序的数据

# 未排序的数据 xu=np.random.rand(50)*4*np.pi-2*np.pi yu=f(xu)

reg=np.polyfit(xu,yu,5) ry=np.polyval(reg,xu) create_plot([xu,xu],[f(xu),ry],['b.','ro'],['f(xu)','regression'],['xu','f(xu)'])

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5.多维的数据

# 多维 def fm(p): x,y=p return np.sin(x)+0.25*x+np.sqrt(y)+0.05*y**2

x=np.linspace(0,10,20) y=np.linspace(0,10,20) X,Y=np.meshgrid(x,y)

z=fm((X,Y)) x=X.flatten() y=Y.flatten()

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D fig=plt.figure(figsize=(12,10)) ax=fig.gca(projection='3d') surf=ax.plot_surface(X,Y,z,rstride=2,cstride=2,cmap='coolwarm',linewidth=0.5, antialiased=True) ax.set_xlabel('x') ax.set_ylabel('y') ax.set_zlabel('f(x,y)')

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matrix=np.zeros((len(x),6+1)) matrix[:,6]=np.sqrt(y) matrix[:,5]=np.sin(x) matrix[:,4]=y**2 matrix[:,3]=x**2 matrix[:,2]=y matrix[:,1]=x matrix[:,0]=1

reg=np.linalg.lstsq(matrix,fm((x,y)),rcond=None) rz=np.dot(matrix,reg[0].round(4)).reshape(20,20)

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D fig=plt.figure(figsize=(12,10)) ax=fig.gca(projection='3d') surf1=ax.plot_surface(X,Y,z,rstride=2,cstride=2,cmap='coolwarm',linewidth=0.5, antialiased=True) surf2=ax.plot_wireframe(X,Y,rz,rstride=2,cstride=2,label='regression') ax.set_xlabel('x') ax.set_ylabel('y') ax.set_zlabel('f(x,y)') ax.legend() fig.colorbar(surf,shrink=0.5,aspect=5)