数据结构|数据结构 Java数据结构 --- 二叉树 java|b树|二叉树|数据结构

【数据结构|数据结构 Java数据结构 --- 二叉树】
文章目录

二叉树
1. 树形结构
- 1.1 概念
- 1.2 树的表示形式
- 1.3 树的应用
2. 二叉树
- 2.1 概念
- 2.2 二叉树的基本形态
- 2.3 两种特殊的二叉树
- 2.4 二叉树的性质
- 2.5 二叉树的存储
- 2.6 二叉树的遍历
- 2.7 二叉树的基本操作
- - 第一步: 首先这里我们用穷举法先来创建一个二叉树来测试这些操作.
  - 第二步: 用代码实现3种遍历二叉树的方法.
  - 第三步: 两种方法求结点个数
  - 第四步: 两种方法求叶子结点的个数
  - 第五步: 求第 k 层结点个数
  - 第六步: 查找val所在的位置
  - 第七步: 获取二叉树的高度
  - 第八步: 运行测试结果
- 2.8 层序遍历
- - a) 层序遍历代码实现:
  - b) 判断一棵树是不是完全二叉树
  - - 方法一思路:
    - - 代码实现:
    - 方法二思路:
    - - 代码实现:
- 2.9 前中后序的非递归实现
- - ①前序遍历 (非递归)
  - ②中序遍历 (非递归)
  - ③后序遍历 (非递归)

二叉树 1. 树形结构 1.1 概念树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。

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节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点孩
子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.2 树的表示形式树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node { int value; // 树中存储的数据 Node firstChild; // 第一个孩子引用 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用 }

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1.3 树的应用文件系统管理（目录和文件）

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2. 二叉树 2.1 概念一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉
树组成。
二叉树的特点：
1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
2.2 二叉树的基本形态一般二叉树都是由以下几个基本形态结合而形成的。

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2.3 两种特殊的二叉树

满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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2.4 二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2i-1 (i>0)个结点
若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2k-1(k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1) 上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1若2i+2

比如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中 500 个叶子节点， 500 个非叶子节点， 1 个节点只有左孩子，0个只有右孩子。
2.5 二叉树的存储二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储存储的是完全二叉树
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法 class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 }// 孩子双亲表示法 class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 Node parent; // 当前节点的根节点 }

2.6 二叉树的遍历如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

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2.7 二叉树的基本操作第一步: 首先这里我们用穷举法先来创建一个二叉树来测试这些操作.

package BinaryTree; class TreeNode{ public char val; public TreeNode left; public TreeNode right; public TreeNode(char val){ this.val = val; } } public class BinaryTree { public TreeNode createTree() { TreeNode A = new TreeNode('A'); TreeNode B = new TreeNode('B'); TreeNode C = new TreeNode('C'); TreeNode D = new TreeNode('D'); TreeNode E = new TreeNode('E'); TreeNode F = new TreeNode('F'); TreeNode G = new TreeNode('G'); TreeNode H = new TreeNode('H'); A.left = B; A.right = C; B.left = D; B.right = E; E.right = H; C.left = F; C.right = G; return A; } }

此时的二叉树图形如图:

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第二步: 用代码实现3种遍历二叉树的方法.

// 前序遍历 void preOrderTraversal(TreeNode root) { if (root == null) { return; } System.out.print(root.val + " "); preOrderTraversal(root.left); preOrderTraversal(root.right); } // 中序遍历 void inOrderTraversal(TreeNode root){ if(root == null){ return; } inOrderTraversal(root.left); System.out.print(root.val + " "); inOrderTraversal(root.right); } // 后序遍历 void postOrderTraversal(TreeNode root){ if(root == null){ return; } postOrderTraversal(root.left); postOrderTraversal(root.right); System.out.print(root.val + " "); }

第三步: 两种方法求结点个数

// 遍历思路-求结点个数 static int size = 0; void getSize1(TreeNode root){ if(root == null){ return; } size++; getSize1(root.left); getSize1(root.right); }// 子问题思路-求结点个数 int getSize2(TreeNode root){ if(root == null){ return 0; } return getSize2(root.left) + getSize2(root.right) + 1; }

第四步: 两种方法求叶子结点的个数

// 遍历思路-求叶子结点个数 static int leafSize = 0; void getLeafSize1(TreeNode root){ if(root == null){ return ; } if(root.left == null && root.right==null){ leafSize++; } getLeafSize1(root.left); getLeafSize1(root.right); }// 子问题思路-求叶子结点个数 int getLeafSize2(TreeNode root){ if(root == null){ return 0; } if(root.left == null && root.right ==null){ return 1; } return getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right); }

第五步: 求第 k 层结点个数

int getKLevelSize(TreeNode root,int k){ if(root == null){ return 0; } if(k == 1){ return 1; } return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k-1) ; }

第六步: 查找val所在的位置

// 查找 val 所在结点，没有找到返回 null // 按照根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找 // 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找 TreeNode find(TreeNode root, char val){ if(root == null){ return null; } if(root.val == val){ return root; } TreeNode ret = find(root.left,val); if(ret != null){ return ret; } ret = find(root.right,val); if(ret != null){ return ret; } return null; }

第七步: 获取二叉树的高度

// 获取二叉树的高度 int getHeight(TreeNode root){ if(root == null){ return 0; } int leftHeight = getHeight(root.left); int rightHeight = getHeight(root.right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; }

第八步: 运行测试结果

public static void main(String[] args) { BinaryTree binaryTree = new BinaryTree(); TreeNode root = binaryTree.createTree(); System.out.print("前序遍历结果:"); binaryTree.preOrderTraversal(root); System.out.println(); System.out.print("中序遍历结果:"); binaryTree.inOrderTraversal(root); System.out.println(); System.out.print("后序遍历结果:"); binaryTree.postOrderTraversal(root); System.out.println(); binaryTree.getSize1(root); System.out.println("结点数: "+BinaryTree.size); int ret = binaryTree.getSize2(root); System.out.println("结点数: "+ret); binaryTree.getLeafSize1(root); System.out.println("叶子节点数: "+BinaryTree.leafSize); int ret1 = binaryTree.getLeafSize2(root); System.out.println("叶子节点数: "+ret1); int ret2 = binaryTree.getKLevelSize(root,3); System.out.println("求k层节点数: "+ret2); TreeNode b= binaryTree.find(root,'H'); System.out.println(b.val); System.out.println("求二叉树的深度: "+binaryTree.getHeight(root)); }

运行结果:

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2.8 层序遍历设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

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a) 层序遍历代码实现:

// 层序遍历 void levelOrderTraversal(TreeNode root){ if(root == null) return ; Queue queue = new LinkedList<>(); queue.offer(root); while(!queue.isEmpty()){ TreeNode top = queue.poll(); System.out.print(top.val+" "); if(top.left != null) queue.offer(top.left); if(top.right != null) queue.offer(top.right); } System.out.println(); }

b) 判断一棵树是不是完全二叉树
方法一思路:

1. 将树按照层序遍历的方法,放入队列中,不同的是将左右节点都放入队列中,不论节点是否为空都放入
2. 循环取出队首元素,如果队首为null就结束循环.
3. 如果此时队列不为空.
①队列还有节点,那么就不是完全二叉树
②队列全是null,那么就是完全二叉树.
4. 循环结束那么就是true;

代码实现:

boolean isCompleteTree(TreeNode root) { if (root == null) return true; Queue queue = new LinkedList<>(); queue.offer(root); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode top = queue.poll(); //左子树和右子树都放入队列(不论是不是null) if (top != null) { queue.offer(top.left); queue.offer(top.right); } else { //如果队首为空就跳出循环 break; } } //如果队不为空,说明是因为break结束的循环.那么就需要判断队里的元素 while (!queue.isEmpty()) { TreeNode cur = queue.peek(); //如果队首为空,就出队 if (cur == null){ queue.poll(); }else { //遇到不为空的节点就表示不是完全二叉树. return false; } } //队空既为true; return true; }

方法二思路:

1. 观察完全二叉树的图形我们可以看出来,每个节点要么有2个子节点,要么没有节点,要么就只有一个左节点没有右节点.
2. 遍历判断
①如果左子树和右子树都不为空,就入队.
②如果左子树存在右子树不存在,那么进行第二个判断.
③如果左子树不存在右子树存在,那么直接false
④如果左子树右子树都不存在,那么也进入第二个判断.
3. 第二个判断,判断是否接下来的左子树和右子树都为空,如果不为空,就是false; 一直为空就是true;

代码实现:

boolean isCompleteTree1(TreeNode root) { Queue queue = new LinkedList<>(); queue.offer(root); boolean isComplete = true; while(!queue.isEmpty()){ TreeNode top = queue.poll(); if(isComplete) { //1.都不为空入队 if (top.left != null && top.right != null) { queue.offer(top.left); queue.offer(top.right); } else if (top.left != null && top.right == null) { //2.左子树不为空,右子树为空,进入第二个判断 isComplete = false; queue.offer(top.left); } else if (top.left == null && top.right != null) { //3.左子树为空,右子树不为空,不符合完全二叉树概念false return false; } else { //4.左右子树都为空,进入第二个判断 isComplete = false; } }else { //第2判断//如果后面的节点还有子树,那就不符合完全二叉树概念 false if(top.left != null || top.right != null){ return false; } } } //循环遍历结束,那就是满足条件,返回true; return true; }

2.9 前中后序的非递归实现 ①前序遍历 (非递归)

// 前序遍历 void preOrderTraversal(TreeNode root) { if (root == null) return; TreeNode cur = root; Stack stack = new Stack<>(); while (cur != null || !stack.empty()) { while (cur != null) { stack.push(cur); System.out.print(cur.val+" "); cur = cur.left; } TreeNode top = stack.pop(); cur = top.right; } }

②中序遍历 (非递归)

// 中序遍历 void inOrderTraversal(TreeNode root){ if(root == null) return ; Stack stack = new Stack<>(); TreeNode cur = root; while(cur != null || !stack.empty()) { while (cur != null) { stack.push(cur); cur = cur.left; } TreeNode top = stack.pop(); System.out.print(top.val + " "); cur = top.right; } }

③后序遍历 (非递归)

// 后序遍历 void postOrderTraversal(TreeNode root){ if(root == null) return; TreeNode cur = root; TreeNode pre = null; //用来指向上一个被打印的元素 Stack stack = new Stack<>(); while(cur != null || !stack.empty()){ while(cur != null){ stack.push(cur); cur = cur.left; } cur = stack.peek(); if(cur.right == null || pre == cur.right ){ stack.pop(); System.out.print(cur.val+" "); pre = cur; cur = null; }else { cur = cur.right; } } }