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算法板子|二分法详解

算法算法板子


文章目录

  • 二分
    • 一、整数二分
      • 1.整数二分模板
      • 2.求解二分问题的思路
      • 3.练习
        • (1).数的范围
        • (2).0到n-1中缺失的数字
    • 二、浮点数二分
      • 1.浮点数二分模板
      • 2.练习
        • (1).数的三次方跟
        • (2).一元三次方程求解
        • (3).
    • 三、总结

二分 一、整数二分 单调性与二分的关系：有单调性一定可以二分，用二分不一定是单调性。二分的本质不是单调性而是边界点（找符合条件的最小的数或者最大的数）整数二分是求红色范围的右端点 或者 绿色范围的左端点
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1.整数二分模板
bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用： int bsearch_1(int l, int r) { while (l < r) { int mid = l + r >> 1; if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质 else l = mid + 1; } return l; } // 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用： int bsearch_2(int l, int r) { while (l < r) { int mid = l + r + 1 >> 1; if (check(mid)) l = mid; else r = mid - 1; } return l; }

【模板1】
1、求红色边界点
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注： + 1原因：
/ 是向下取整，当l与r只相差1的时候，即 l = r - 1，最终的结果mid = l（即结果不变还是l）,补上1之后 mid = r，再次循环之后l = r 即[r , r]，最终结束循环。如果不补1将会出现死循环。
【模板2】
求绿色边界点
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记忆：
第一个模板是尽量往左找目标，第二个模板是尽量往右找目标。
只要是往左找答案，就用第一个模板，mid不用加一，r=mid，l加一；
只要是往右找答案，就用第二个模板，mid要加一，l=mid，r要减一；
如果题目明确说了 要求最小值（最前面的值）还是求最大值（最后面的值），就能判断是用模板1（求最小），还是用模板2（求最大）。
之后再根据模板1，或模板2，写出对应的判断条件；
但是，不建议死记模板，更重要的是在理解之后的灵活变通。
2.求解二分问题的思路
  • 每次先划分区间，写一个mid，后面再考虑是否补上加1操作
  • 然后想一个check()函数，康康是否满足性质，根据check()函数的值取判断怎么划分(mid在哪一边)，到底是是l = mid，还是r = mid，第一种补上1即可。（关键是找性质，判断是否满足性质然后判断mid在左边还是右边）
3.练习
(1).数的范围
给定一个按照升序排列的长度为 nn 的整数数组，以及 qq 个查询。
对于每个查询，返回一个元素 kk 的起始位置和终止位置（位置从 00 开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
输入格式
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 nn 个整数（均在 1～10000 范围内），表示完整数组。
接下来 q行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。
输出格式
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000
输入样例：
6 3 1 2 2 3 3 4 3 4 5

输出样例：
3 4 5 5 -1 -1

思路：
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【参考代码】
#includeusing namespace std; const int N = 100000+10; int q[N]; int main() { int n, m; cin>> n >> m; for(int i = 0; i < n; i++) cin>>q[i]; while(m--) { int x; cin>> x; // 寻找起始位置 int l = 0, r = n - 1; while(l < r) { int mid =(l + r)/2; if(q[mid] >= x) r = mid; else l = mid + 1; } if(q[l] != x) cout<<"-1 -1"<

(2).0到n-1中缺失的数字 (二分) O(logn)
这道题目给定的是递增数组，假设数组中第一个缺失的数是 x，那么数组中的数如下所示；
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从中可以看出，数组左边蓝色部分都满足nums[i] == i，数组右边橙色部分都不满足nums[i] == i，因此我们可以二分出分界点 x 的值。
另外要注意特殊情况：当所有数都满足nums[i] == i时，表示缺失的是 n。
时间复杂度分析
二分中的迭代只会执行 O(logn) 次，因此时间复杂度是O(logn)。
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class Solution { public: int getMissingNumber(vector& nums) { if(nums.size() == 0) return 0; int l = 0, r = nums.size() - 1; while(l < r) { int mid = (l + r)/2; if(nums[mid] != mid) r = mid; //在红色半边(满足条件) else l = mid + 1; }//缺的是n这个数 if(nums[r] == r) r++; return r; } };

二、浮点数二分 1.浮点数二分模板
浮点数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 790. 数的三次方根 bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质（包含了计算和条件）double bsearch_3(double l, double r) { const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求(一般比题目要求的大2) while (r - l > eps) { double mid = (l + r) / 2; if (check(mid)) r = mid; else l = mid; } return l; }

注：与整数二分的最大区别是，else那里的条件l = mid不进行+1或者-1，浮点数没有整除（/ 下取整）这种问题，不需要处理边界。
2.练习
(1).数的三次方跟
给定一个浮点数 n，求它的三次方根。
输入格式
共一行，包含一个浮点数 n。
输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
注意，结果保留 6 位小数。
数据范围
?10000≤n≤10000
输入样例：
1000.00

输出样例：
10.000000

#includeusing namespace std; int main() { double n; cin>>n; double l = -10000, r = 10000; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求(保险1e-8) const double eps = 1e-8; while(r - l > eps) { double mid = (l + r) / 2; if(mid * mid * mid >= n) r = mid; else l = mid; }printf("%.6lf\n", l); return 0; }

(2).一元三次方程求解 算法板子|二分法详解
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提示：记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且f(x1)*f(x2)<0，则在(x1,x2)之间一定有一个根。
#include #includeusing namespace std; double a, b, c, d; // 全局变量方便在cal中使用 const double eps = 1e-6; // 定义精度//计算一元三次方程 double cal(double x) { return a*x*x*x + b*x*x + c*x + d; } int main() { cin>>a>>b>>c>>d; //枚举根 for(int i = -100; i <= 100; i++) { //根与根之差的绝对值 ≥1 double l = double(i), r = double(i + 1); // 细节:要将l,r转为double if(cal(l) == 0) printf("%.2lf ", l); //若f(x) = 0，根即为x //f(x1)×f(x2) < 0 根在（x1,x2）之间—— 浮点二分 else if(cal(l) * cal(r) < 0) { while(r - l > eps) { //x1 < x，f(x1)×f(x2)<0，则在(x1, x2)之间一定有一个根 double mid = (l + r)/2; // check()条件 if(cal(l) * cal(mid) <= 0) r = mid; else l = mid; }printf("%.2lf ", l); } } }

(3). 算法板子|二分法详解
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【参考代码】
#include using namespace std; double check(double x) { return 7*x*x*x*x + 5*x*x*x + 11*x + 6; } double erfen(double Y) { double l=0.0, r=99.0, mid; while(r - l > 1e-6){ mid = (l + r)/2; if(check(mid) > Y) r = mid; else l = mid; } return mid; } int main() { double Y; while(~scanf("%lf", &Y)){ if(Y < 6 || Y > 677269824) puts("None"); else printf("%.4f\n", erfen(Y)); } return 0; }

三、总结 以上就是对基础二分知识和模板的再次回顾和总结，二分再掌握了基本原理之后，关键还是多练多总结，找到那种敏锐的体感，QAQ…，希望对你有所帮助呀！
注：如果文章有任何错误或不足，请各位大佬尽情指出，评论留言留下您宝贵的建议！如果这篇文章对你有些许帮助，希望可爱亲切的您点个赞推荐一手，非常感谢啦
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