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竞赛|高级数据结构（树状数组以及逆序对求解）

算法数据结构c++竞赛


树状数组以及逆序对求解

  • 树状数组基础知识
    • lowbit操作讲解
    • 单点更新
    • 区间查询
  • 树状数组应用之逆序对
    • 原理
    • 题目及代码
  • 推荐给大家的一段话

树状数组基础知识 树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于数组的单点修改&&区间求和.
另外一个拥有类似功能的是线段树.
具体区别和联系如下：
  1. 两者在复杂度上同级, 但是树状数组的常数明显优于线段树, 其编程复杂度也远小于线段树.
  2. 树状数组的作用被线段树完全涵盖, 凡是可以使用树状数组解决的问题, 使用线段树一定可以解决, 但是线段树能够解决的问题树状数组未必能够解决.
  3. 树状数组的突出特点是其编程的极端简洁性, 使用lowbit技术可以在很短的几步操作中完成树状数组的核心操作，其代码效率远高于线段树。
lowbit操作讲解 竞赛|高级数据结构（树状数组以及逆序对求解）
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下面是二进制版本，能看到
更新过程是每次加了个二进制的低位1(101+1 ->110, 110 + 10 -> 1000, 1000 + 1000 -> 10000)
查询过程每次就是去掉了二进制中的低位1(1111 - 1 -> 1110, 1110 - 10 -> 1100, 1100 - 100 -> 1000)
讲解具体实施步骤
lowbit(x)是取出x的最低位1; 具体代码为：
int lowbit(x){return x&(-x); }

我们知道,对于一个数的负数就等于对这个数取反+1
以二进制数11010为例:11010的补码为00101,加1后为00110,两者相与便是最低位的1
其实很好理解,补码和原码必然相反,所以原码有0的部位补码全是1,补码再+1之后由于进位那么最末尾的1和原码
最右边的1一定是同一个位置(当遇到第一个1的时候补码此位为0,由于前面会进一位,所以此位会变为1)
所以我们只需要进行a&(-a)就可以取出最低位的1了
会了lowbit,我们就可以进行区间查询和单点更新了!!!
单点更新 此时如果我们要更改A[1]，则有以下需要进行同步更新！！！
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void update(int x,int y,int n){ for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(i))//x为更新的位置,y为更新后的数,n为数组最大值 c[i] += y; }

区间查询 举个例子 ：
i=5
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
可以推出: sum(i = 5) ==> C[4]+C[5];
序号写为二进制: sum(101)=C[(100)]+C[(101)];
第一次101,减去最低位的1就是100;
其实也就是单点更新的逆操作
int getsum(int x){ int ans = 0; for(int i=x; i; i-=lowbit(i)) ans += c[i]; return ans; }

树状数组应用之逆序对 原理 我们想一想，树状数组能够解决哪些问题，求某个区间的数的和，我们能不能将求逆序对的问题向这个方向转化呢？
我们在换一种角度来看看逆序对：对于每一个数，可能和前面的数形成逆序对，也可能与后面的数形成逆序对。那我们化简一下，对每个数来说，我们只考虑其作为逆序对中第二个数的逆序对，然后将这样的逆序对加起来，实际上就是总逆序对个数。为什么呢，因为每个逆序对有两个元素，第一个数，第二个数。我们将逆序对的第二个数的情况都考虑完了，实际上已经考虑完了所有的逆序对。
题目及代码 竞赛|高级数据结构（树状数组以及逆序对求解）
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#include using namespace std; typedef long long int ll; const ll maxn=1e5+10; const ll maxm=1e8+10; ll n; ll a[maxm],b[maxm]; ll ans=0; ll lowbit(ll x){ return x&(-x); } void update(ll x,ll val){ for(ll i=x; i<=ans; i+=lowbit(i)){ b[i]+=val; //cout<>n; for(int i=1; i<=n; i++){ cin>>a[i]; ans=max(ans,a[i]); } ll cnt=0; for(int i=1; i<=n; i++){ update(a[i],1); cnt+=i-getsum(a[i]); //cout<

推荐给大家的一段话 “遇事不决可问春风，春风不语即随本心”的意思是：对一件事犹豫不决，就问春风该如何做，春风给不出答案，就凭自己本心做出决断。“遇事不决可问春风，春风不语即随本心”一句出自网络作家“烽火戏诸侯”的《剑来》，其原文是：“遇事不决，可问春风。春风不语，遵循己心”。 【竞赛|高级数据结构（树状数组以及逆序对求解）】竞赛|高级数据结构（树状数组以及逆序对求解）
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