机器学习里的信息论
一.信息量
信息论背后的原理是：从不太可能的事件中，能学到更多的信息，发生概率越小的事件信息量越大，独立事件包含额外的信息
信息量又译为信息本体，由克劳德·香农提出，用来衡量单一事件发生时所包含的信息量多寡。它的单位是bit,或是nats。
信息量是指一个事件所能够带来的信息的多少，这个事件发生的概率越小，其带来的信息量越大
自信息的含义包括两个方面：
1.自信息表示事件发生前，事件发生的不确定性。
2.自信息表示事件发生后，事件所包含的信息量，是提供给信宿的信息量，也是解除这种不确定性所需要的信息量
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这仿佛和我们的直觉相反，假如有一个全知全能的上帝，他知道宇宙所有的信息，任何事件对他来说都是确定无疑的，任何事情发生的概率都是1，那他脑中的信息量一定是很大的
但是按照信息量的概念，他的信息量却为0，这是怎么回事呢，正如定义所描述的信息量是解除事件不确定性需要的信息，下图给出了一个直观的解释
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任何事件的发生概率都介于0到1之间，确定的一极是有边界的，这个边界是1
但是不确定的一极是没有边界的，只能无限小趋于0却不能等于0，因为0也是确定的，即这件事一定不会发生
我们总要选一个信息量为0的标杆，就像重力势能一样，信息也只有相互比较才有意义，信息学家们选择了概率为1作为这个标杆，至于为什么不选择0作为标杆我自己有一点理解
比如说我要娶刘亦菲的概率是1/10，我中午吃胡辣汤的概率也1/10，但是这两个事件包含的信息量那肯定是不一样的，吃胡辣汤的概率1/10说明了食堂有10种食物，娶刘亦菲的概率1/10那包含的信息可太多了，要是真能这样说明了我这个人还是挺厉害的，所以一个事件从不会发生到有概率发生需要的信息不太好估量。但是从另一个角度讲，假如有朝一日我娶刘亦菲的概率真的变成了1/10，和我真的娶到了刘亦菲这件事之间的差距看起来又不是很遥远，就像摇骰子一样，而这个骰子有10个面
所以信息量的概念：解除事件不确定性需要的信息（事件越不确定就意味着越混乱，我认为这个概念起名为信息熵才很恰当，但是信息熵另有其他含义）
那如何量化这个概念呢，再举一个例子（图源 王木头学科学）
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已知足球比赛中，阿根廷夺冠这件事和阿根廷进决赛并且赢了决赛，表达的是同一个意思，都是从夺冠概率1/8到夺冠这件事发生，那么这两件事的信息量应该是一致的，就有
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所以f就被定义为（注意这里是人为规定的 一个符合上述两条规律的函数）
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这里的底数取2的原因是，如果底数取2，这个量就有了物理含义，它代表确定这个事件所需的比特位数，比如一个事件有A,B,C,D四种情况，每种情况发生概率为1/4，这样f(1/4)=2，意思是2个bit可以确定这些情况，分别是00，01，10，11
二.信息熵
信息熵是每个事件的信息量乘它发生的概率，熵既有热力学概念，也有信息论的概念还有这哲学概念，它反应系统的混乱程度（不确定程度）
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还以足球为例，中国对阵法国胜率为1%，法国有99%的概率会胜利，1%的概率会投降，所以中国队的胜率是1%，虽然中国队获胜这个事件信息量很大但是出现的概率低，所以对于总体的信息熵贡献不大
德国对阵比利时胜率各为1/2，虽然每个事件的信息量不大，但是乘以概率后总体的信息熵比较大，这个系统的信息熵是1，这也符合我们的直觉，这个系统相对于中国对阵法国的系统不确定性更大，信息熵也更大
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用编码位数的方式来解释信息熵，它也可以这样被解释，对于一个概率分布P，描述P中事件的平均编码长度，当然，编码的长度不能带有小数，因为它代表了编码的位数，但是我们所说的信息熵是把这个情况从离散转移到连续的情况，由此引出交叉熵和相对熵（KL散度）的概念
三.交叉熵和相对熵
交叉熵刻画了使用错误分布Q来表示真实分布P中的样本的平均编码长度
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相对熵（KL散度）刻画了错误分布Q来表示真实分布P中的样本的平均编码长度的增量
从定义也可以看出相对熵 = 交叉熵 - P的信息熵
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由吉布斯不等式可以证明，当使用错误的分布Q的编码来表示P时，总会比用P来编码P的长度更大，即相对熵总是个正值，它可以用来表示两个概率分布的差异（PQ和QP的KL散度是不一样的，不对称性）
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这样我们就得到了两个重要的工具:
信息熵：描述概率分布的混乱程度，我们获取的信息越多，信息熵就越低
相对熵：描述两个概率分布的差异
由此引出它们在机器学习领域的应用：
四.简介几个熵在机器学习领域的应用
1.决策树的属性选择基于信息熵，通过某个属性的划分更能够帮助对最终的结果进行预测，也就是更有助于降低信息熵，就认为这个属性对于最终的结果预测的帮助越大，这个属性就蕴含更多的信息
2.分类任务的损失函数可以使用交叉熵
分类器的输出一般是样本属于各个类别的概率，这个整体就是一个概率分布，而真实样本也可以理解成一个one-hot的概率分布，这两个概率分布的差异就可以用相对熵来表述，所以loss函数就可以使用相对熵，又因为相对熵 = 交叉熵 - 真实分布的信息熵，信息熵是一个固定值，所以我们就使用交叉熵作为loss函数。
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除此之外，交叉熵的损失函数更加平滑，相对于MSE更能够帮助学习，它的等高线如图所示，红色代表loss大，蓝色代表loss小，可以看出交叉熵更加平滑
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所以如果提问，为什么交叉熵适合做分类问题的损失函数？就可以这样回答
理论上：softmax输出的就是概率分布，KL散度恰好可以用来刻画两个概率分布之间的差异，而真实分布的信息熵是固定的，所以可用交叉熵可以当作损失函数
实际上：最后一层是softmax时损失函数是这样的，交叉熵里loss很大时梯度很大，MSEloss大时梯度很大，更大时反而梯度很小，是一个剧变，使用交叉熵更易收敛
五.其他关于熵的思考
我听说过一个说法，一个耗散系统的演化是从低熵向高熵进行，还拿足球举例子，中国队对阵法国队目前胜率是1%，但是把这两个队天天放在一起训练，最后两者的胜率就会无限趋近于50%，就像溶液从高浓度流向低浓度一样，最后不是中国队把法国队带捞了，就是法国队把中国队带强了
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你可能还听说过一个叫做二八定律的东西，20%的人掌握着社会80%的财富，把这种离散的模型迁移到连续的情况，这就是帕累托分布（这是一个厚尾模型，它的u均值在采样无限时可以趋于无限大）从如下的图像可以看到，采样时大部分样本都聚集在前面，但采样足够多时，总有x非常大的样本来影响采样数据整体的分布，这个概率分布的熵值就很低
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与帕累托分布相比，正态分布的熵值就非常大，这也对应了事物演化的开始和结局
有一种说法，宇宙诞生时是符合帕累托分布的，它的熵值很低，也具有很大的活力；宇宙热寂时，它的熵值很大，符合正态分布，也就是说事物的发展过程就是从幂律分布到正态分布
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【机器学习里的信息论】还拿二八定律举例，我们目前社会的财富比例符合二八定律，大部分财富在少部分人手中，但它最终必将演化到正态分布，大部分财富掌握在大部分人手中，这时社会形态就从资本主义演化到共产主义，我们又从信息论的理论证明了马克思主义的正确性
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