十、OpenGL中的向量、矩阵、矩阵堆栈十、OpenGL中的向量、矩阵、矩

1. 向量
1.1 向量相关概念

向量：在 3D 笛卡尔坐标系中，一个由 x、y、z组成的顶点就是一个向量
单位向量：长度为 1 的向量
标准化向量：将长度不为 1 的向量缩放为 1 的过程。
(x/|xyz|, y/|xyz|, z/|xyz|)
使?一个非零向量除以它的模(向量的?度), 就可以得到?向相同的单位向量;

1.2 OpenGL 如何定义向量

math3d库，有2个数据类型，能够表示一个三维或者四维向量。
typedef float M3DVector3f[3]; // 表示一个三维向量(x,y,z)
typedef float M3DVector4f[4]; // 表示一个四维向量(x,y,z,w).
在典型情况下，w为缩放因子，坐标设为1.0。x,y,z值通过除以w，来进?行缩放。而除以1.0则本质上不改变x,y,z值。

1.3 向量运算

点乘
两个单位向量点乘会得到一个标量，是一个[-1,1]范围的值，这个标量表示的是两个向量的夹角（也就是cos余弦值）。

// 获取两个向量的夹角 float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v); // 获取两个向量的夹角的弧度 float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);

叉乘
2个向量（不必为单位向量）之间叉乘就可以得到另外?个新的向量，它会与原来2个向量定义的平面垂直（也叫法线）。向量叉乘不满足交换律。

// 获取两个向量的叉乘结果（法线） void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3fu ,const M3DVector3f v);

2. 矩阵（Matrix）
2.1 矩阵的定义方式

typedef float M3DMatrix33f[9]; // 三维矩阵的声明 typedef float M3DMatrix44f[16]; // 四维矩阵的声明

单元矩阵：一个矩阵叉乘单元矩阵后，结果还是原来的矩阵，不会发生改变。

// 初始化一个单元矩阵 void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

矩阵可以只有一行或者一列。这种矩阵也可以叫做向量。
OpenGL的约定?,更多倾向使?一维数组; 这样做的原因是: OpenGL 使用的是 Column-Major(以列为主)矩阵排序的约定（在数学中叫做转置矩阵）。
A0A1A2A3
A4A5A6A7
A8A9A10　A11
A12A13A14A15
从左至右、从上到下的读取方式为行优先矩阵排序
A0A4A8A12
A1A5A9A13
A2A6A10A14
A3A7A11A15
从上到下、从左至右的读取方式为列优先矩阵排序
列矩阵的最后?行都为0，只有最后?个元素为1。
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
0001

2.2 为什么使用矩阵？一个点（x,y,z）在坐标系中旋转后，我们想得到新的坐标，就需要使用到矩阵。因为新坐标的 x 值，不仅与旧坐标的x值及旋转参数有关系，甚至还和 y 值及 z 值有关系。一个物体的所有顶点都乘以矩阵，就能让整个物体变换到空间中给定的位置和方向。
2.3 使用矩阵的步骤在坐标系文章中，曾介绍过坐标系变换的步骤如下图所示：

文章图片
坐标系变换的步骤.png
从逻辑上，在坐标系的变换过程中，依次使用了模型矩阵、视图矩阵、投影矩阵。不过在OpenGL计算变换后的顶点向量时，其计算顺序是相反的。计算公式如下所示： 【十、OpenGL中的向量、矩阵、矩阵堆栈】

变换顶点向量 = M_pro * M_view * M_model * V_local 变换顶点向量 = 投影矩阵 ? 视图变换矩阵 ? 模型矩阵 ? 顶点

2.3.1. 视图变换：设置观察者的位置，以确定观察者坐标系。任何模型变换之前，都要先进行视图变换。因为一旦观察者坐标系改变后，所以的物体变换都要基于新的坐标系进行。
默认情况下，透视投影中，观察者处于原点（0，0，0），并沿着Z轴负方向看过去（看向显示器内部）。
2.3.2. 模型变换：物体进行平移、旋转、缩放

// 平移 void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, float x, float y, float z); // 旋转 m3dRotationMatrix44(m3dDegToRad(45.0), float x, float y, float z); // 缩放（x/y/z参数传值-1时，可以实现物体围绕某一个轴的翻转） void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, float xScale, float yScale, float zScale); // 综合变换， a 为先变换的矩阵、b 为后变换的矩阵 void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product, const M3DMatrix44f a, const M3DMatrix44f b);

注：由于矩阵叉乘不符合交换律，矩阵交换后，矩阵相乘的结果不一样。所以物体有多种变换时，变换顺序不可交换。
例如“先平移后旋转”与“先旋转后平移”的效果是不一致的。如下图所示：

文章图片
“先平移后旋转”与“先旋转后平移”的效果不一致.png

文章图片
先平移再旋转.gif

文章图片
先旋转再平移.gif 2.3.3. 投影变换：设置投影方式

// 平截头体设置透视投影 viewFrustum.SetPerspective(35.0f, float(nWidth)/float(nHeight), 1.0f, 100.0f); // 平截头体设置正投影 void SetOrthographic(GLfloat xMin, GLfloat xMax, GLfloat yMin, GLfloat yMax, GLfloat zMin, GLfloat zMax)

3. 矩阵堆栈（GLMatrixStack）

使用矩阵堆栈，在一个视图变换前，将其压栈，变换后出栈。以达到不影响其他视图的目的。
矩阵堆栈的深度为64，默认栈顶有一个单元矩阵。
API 如下：

///---- 矩阵加载、相乘、获取//在堆栈顶部载?一个单元矩阵 void GLMatrixStack::LoadIdentity(void); //在堆栈顶部载?任何矩阵 //参数:4*4矩阵 void GLMatrixStack::LoadMatrix(const M3DMatrix44f m); //矩阵乘以矩阵堆栈顶部矩阵，相乘结果存储到堆栈的顶部 void GLMatrixStack::MultMatrix(const M3DMatrix44f); //获取矩阵堆栈顶部的值 void GLMatrixStack::GetMatrix(void); void GLMatrixStack::GetMatrix(M3DMatrix44f mMatrix); ///---- 矩阵压栈、出栈//将当前矩阵压?入堆栈(栈顶矩阵copy ?份到栈顶) void GLMatrixStack::PushMatrix(void); //将 M3DMatrix44f 矩阵对象压入当前矩阵堆栈 void GLMatrixStack::PushMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix); //将GLFame 对象压?入矩阵对象 void GLMatrixStack::PushMatrix(GLFame &frame); //出栈(出栈指的是移除顶部的矩阵对象) void GLMatrixStack::PopMatrix(void); //将堆栈的顶部压?GLFrame角色帧 void GLMatrixStack::LoadMatrix(GLFrame &frame); //GLFrame乘以矩阵堆栈顶部的矩阵。相乘结果存储在堆栈的顶部 void GLMatrixStack::MultMatrix(GLFrame &frame); //将当前的GLFrame压栈 void GLMatrixStack::PushMatrix(GLFrame &frame); ///---- 矩阵仿射变换（一般使用模型变换，很少直接通过堆栈进行放射变换）// 旋转 angle是度数，?不是弧度 void MatrixStack::Rotate(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z); // 平移 void MatrixStack::Translate(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z); // 缩放 void MatrixStack::Scale(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);

文章图片
矩阵入栈、相乘、出栈.png 3.1 GLFrame 角色帧类

可以表示物体或观察者所处的位置，主要有三个参数
vOrigin：当前所处的位置，默认是（0，0，0），处于原点
vForward：即将要去的位置，默认是（0，0，-1），朝向-z轴方向
vUp：朝向哪，默认是（0，1，0），朝向+y轴方向
通过 "旋转坐标系/平移" 来改变观察者/物体的位置

///---- 移动位置 // Move Forward (along Z axis) inline void MoveForward(float fDelta); // Move along Y axis inline void MoveUp(float fDelta) // Move along X axis inline void MoveRight(float fDelta)///---- 旋转 // Rotate in world coordinates... void RotateWorld(float fAngle, float x, float y, float z) // Rotate around a local axis void RotateLocal(float fAngle, float x, float y, float z)