Java-背包算法实现 Java-背包算法实现

介绍

给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是，其价值为
问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

背包问题是具有许多应用的组合优化问题
背包问题在背包问题中，我们有一组物品。每个物品都有重量和价值：

文章图片
背包算法示例.png 我们想将这些物品放入背包。但是，它有一个重量限制：

文章图片
未命名文件 (2).png 因此，我们需要选择总重量不超过重量限制的物品，并且其总价值达到最高。例如，上述示例的最佳解决方案是选择5kg和6kg物品，它们在重量限制内的最大值为40元。
背包问题有几种变化，我们将重点介绍0-1背包问题。在0-1背包问题中，必须选择每个物品或将其留在后面。我们不能取一部分物品。另外，我们不能多次取一件物品。
数学公式现在让我们以数学符号形式化0-1背包问题。给定一组n个物品和重量限制W，我们可以将优化问题定义为：

文章图片
公式 【Java-背包算法实现】这个问题是NP完全难题。因此，目前尚无多项式时间算法可以解决。但是，对于此问题，可以使用动态规划算法思路来解决。
递归算法使用递归公式来解决此问题：

文章图片
递归算法在该公式中，是重量限制为w的n个物品的最优解。它是以下两个值中的最大值：
重量限制为w的（n-1）个物品的最优解（不包括第n个项目）
第n个物品的值加上（n-1）个物品的最优解和w减去第n个物品的权重（包括第n个物品）
如果第n项的重量大于当前的重量限制，则不包括在内。因此，它属于上述两种情况的第一类。
Java中实现此递归公式代码：

文章图片
image.png 在每个递归步骤中，我们需要评估两次最优解决逻辑，因此，此递归解决方案的运行时间为O（）。
动态规划算法动态规划思路是一种用于线性化，指数级递增的编程算法的思路，这个思路是存储子问题的结果，这样我们以后就不必重新计算它们了。
我们还可以通过动态规划解决0-1背包问题。要使用动态规划中，我们使用自下而上的方法来计算最佳解决方案：

/** * @param w : 已知物品重量数组集合 * @param v: 已知物品价值数组集合 * @param n：最大价值，0 表示不要求 * @param W : 最大重量，0 表示不要求 * @author 油腻的Java * @date 2019/11/5 * @return */ public int knapsackDP(int[] w, int[] v, int n, int W) { if (n <= 0 || W <= 0) { return 0; }/** * 创建临时数组 */ int[][] m = new int[n + 1][W + 1]; for (int j = 0; j <= W; j++) { m[0][j] = 0; }/** * 遍历n和W, */ for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= W; j++) { if (w[i - 1] > j) { //对m数组进行赋值 m[i][j] = m[i - 1][j]; } else { //求最大值 m[i][j] = Math.max(m[i - 1][j], m[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]); } } } return m[n][W]; }

在代码中，我们在商品价值n和重量限制W上有一个嵌套循环。因此，它的运行时间为O（nW）。
单元测试最后针对各自的场景做了一下单元测试
同时满足价格，重量最大化