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Hessian矩阵

1.定义 设函数\( F \)对\( x \)的二级导数都存在，则\( F \)的Hessian矩阵为：
Hessian矩阵
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2. 正定矩阵、半正定矩阵、负定矩阵、半负定矩阵 正定矩阵：给出一个\( n*n \)的矩阵\( A \)，如果对于任意长度为\( n \)的非零向量，都有\( xTAx>0\)成立，则\( A\)是正定矩阵。等价于\( A \)的所有特征值都是正的。等价于\( A \)的顺序主子式都是正的。
半正定矩阵：给出一个\( n*n \)的矩阵\( A \)，如果对于任意长度为\( n \)的非零向量，都有\( xTAx>=0\)成立，则\( A\)是正定矩阵。等价于\( A \)的所有特征值都是正的。等价于\( A \)的顺序主子式都是正的。
负定矩阵：给出一个\( n*n \)的矩阵\( A \)，如果对于任意长度为\( n \)的非零向量，都有\( xTAx<0\)成立，则\( A\)是正定矩阵。等价于\( A \)的所有特征值都是正的。等价于\( A \)的顺序主子式都是正的。
半负定矩阵：给出一个\( n*n \)的矩阵\( A \)，如果对于任意长度为\( n \)的非零向量，都有\( xTAx<=0\)成立，则\( A\)是正定矩阵。等价于\( A \)的所有特征值都是正的。等价于\( A \)的顺序主子式都是正的。
3.hessian矩阵的应用 Hessian Matrix，它有着广泛的应用，如在牛顿方法、求极值以及边缘检测、消除边缘响应等方面的应用，图像处理里，可以抽取图像特征，在金融里可以用来作量化分析。
判断极值点
如果H(M)是正定矩阵，则临界点M梯度为0处是一个极小值。
如果H(M)是负定矩阵，则临界点M梯度为0处是一个极大值。
如果H(M)是不定矩阵，则临界点M梯度为0为鞍点。
【Hessian矩阵】图像领域
Hessian matrix实际上就是多变量情形下的二阶导数，他描述了各方向上灰度梯度变化。我们在使用对应点的hessian矩阵求取的特征向量以及对应的特征值，较大特征值所对应的特征向量是垂直于直线的，较小特征值对应的特征向量是沿着直线方向的。因此我们可以用hessian矩阵进行边缘检测。对于SIFT算法中的边缘响应的消除可以根据hessian矩阵进行判定。
如下图所示，一个二维平面上的一条直线，图像的特征具体可以描述为：沿着直线方向，亮度变化极小，垂直于直线方向，亮度由暗变亮，再由亮变暗，沿着这个方向，亮度变化很大。我们可以将边缘图像分布特征与二次型函数图形进行类比，可以找到两个方向，一个方向图像梯度变化最慢，另一个方向图像梯度变化最快。那么图像中的边缘特征就与图像的二次型函数就对应起来了。
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