Python艺术|用Python搓一个太阳系机器学习|三体|偏微分方程|差

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- - 日地月三体
  - 日地火
  - 太阳系

图片上传之后不知为何帧率降低了许多。。。
日地月三体
所谓三体，就是三个物体在重力作用下的运动。由于三点共面，所以三个质点仅在重力作用下的运动轨迹也必然无法逃离平面。
三体运动所遵循的规律就是古老而经典的万有引力
F ? = G m i m j r 2 e ? r \vec F=\frac{Gm_im_j}{r^2}\vec e_r F =r2Gmi?mj??e r?
则对于 m i m_i mi?而言，
m i d v ? i d t = G m i m j r i j 3 r ? i j m_i\frac{\text d\vec v_i}{\text dt}=\frac{Gm_im_j}{r_{ij}^3}\vec r_{ij} mi?dtdv i??=rij3?Gmi?mj??r ij?
【Python艺术|用Python搓一个太阳系】且
d r ? i d t = v ? i \frac{\text d\vec r_i}{\text dt}=\vec v_i dtdr i??=v i?
将其写为差分形式
v ? i = ∑ j =? i G m j r i j 3 r ? i j d t r ? i = v ? i d t \begin{aligned} \vec v_i&=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j}{r_{ij}^3}\vec r_{ij}\text dt\\ \vec r_i&= \vec v_i\text dt \end{aligned} v i?r i??=j?=i∑?rij3?Gmj??r ij?dt=v i?dt?
由于我们希望观察三体运动的复杂形式，而不关系其随对应的宇宙星体，所以不必考虑单位制，将其在二维平面坐标系中拆分，令 v ? = ( u , v ) \vec v=(u,v) v =(u,v)，则
u i + = ∑ j =? i G m j ( x j ? x i ) d t ( x i ? x j ) 2 + ( y i ? y j ) 2 3 v i + = ∑ j =? i G m j ( y j ? y i ) d t ( x i ? x j ) 2 + ( y i ? y j ) 2 3 x i + = u ? i d t y i + = v ? i d t \begin{aligned} u_i&+=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j(x_j-x_i)\text dt}{\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2}^3}\\ v_i&+=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j(y_j-y_i)\text dt}{\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2}^3}\\ x_i&+= \vec u_i\text dt\\ y_i&+= \vec v_i\text dt \end{aligned} ui?vi?xi?yi??+=j?=i∑?(xi??xj?)2+(yi??yj?)2 ?3Gmj?(xj??xi?)dt?+=j?=i∑?(xi??xj?)2+(yi??yj?)2 ?3Gmj?(yj??yi?)dt?+=u i?dt+=v i?dt?
太阳、地球和月亮就是一个典型的三体系统，其中太阳质量为 1.989 × 1 0 30 k g 1.989×10^{30}kg 1.989×1030kg，地球质量为 5.965 × 1 0 24 k g 5.965×10^{24}kg 5.965×1024kg，月球质量为 7.342 ? 1 0 22 k g 7.342?10^{22}kg 7.342?1022kg，万有引力常数为 G = 6.67 × 1 0 ? 11 N ? m 2 / k g 2 G=6.67×10^{-11}N·m2/kg^2 G=6.67×10?11N?m2/kg2。地月距离为 3.8 × 1 0 8 m 3.8\times10^8m 3.8×108m；日地距离为 1.5 × 1 0 11 m 1.5\times10^{11}m 1.5×1011m；地球公转速度为 28.8 k m / s 28.8km/s 28.8km/s；月球公转速度为 1 k m / s 1km/s 1km/s，则各参数初始化为

#后续代码主要更改这里的参数 m = [1.33e20,3.98e14,4.9e12] x = np.array([0,1.5e11,1.5e11+3.8e8]) y = np.array([0,0,0]) u = np.array([0,0,0]) v = np.array([0,2.88e4,1.02e3])

由于地月之间的距离相对于日地距离太近，所以在画图的时候将其扩大100倍，得到图像

尽管存在误差，但最起码看到了地球围绕太阳转，月球围绕地球转。。。代码为

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import animationm = [1.33e20,3.98e14,4.9e12] x = np.array([0,1.5e11,1.5e11+3.8e8]) y = np.array([0.0,0,0]) u = np.array([0.0,0,0]) v = np.array([0,2.88e4,2.88e4+1.02e3])fig = plt.figure(figsize=(12,12)) ax = fig.add_subplot(xlim=(-2e11,2e11),ylim=(-2e11,2e11)) ax.grid()trace0, = ax.plot([],[],'-', lw=0.5) trace1, = ax.plot([],[],'-', lw=0.5) trace2, = ax.plot([],[],'-', lw=0.5)pt0, = ax.plot([x[0]],[y[0]] ,marker='o') pt1, = ax.plot([x[0]],[y[0]] ,marker='o') pt2, = ax.plot([x[0]],[y[0]] ,marker='o')k_text = ax.text(0.05,0.85,'',transform=ax.transAxes) textTemplate = 't = %.3f days\n'N = 1000 dt = 36000 ts =np.arange(0,N*dt,dt)/3600/24 xs,ys = [],[] for _ in ts: x_ij = (x-x.reshape(3,1)) y_ij = (y-y.reshape(3,1)) r_ij = np.sqrt(x_ij**2+y_ij**2) for i in range(3): for j in range(3): if i!=j : u[i] += (m[j]*x_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3) v[i] += (m[j]*y_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3) x += u*dt y += v*dt xs.append(x.tolist()) ys.append(y.tolist())xs = np.array(xs) ys = np.array(ys)def animate(n): trace0.set_data(xs[:n,0],ys[:n,0]) trace1.set_data(xs[:n,1],ys[:n,1]) #绘图时的地月距离扩大100倍，否则看不清 tempX2S = xs[:n,1]+100*(xs[:n,2]-xs[:n,1]) tempY2S = ys[:n,1]+100*(ys[:n,2]-ys[:n,1]) trace2.set_data(tempX2S,tempY2S)pt0.set_data([xs[n,0]],[ys[n,0]]) pt1.set_data([xs[n,1]],[ys[n,1]]) tempX = xs[n,1]+100*(xs[n,2]-xs[n,1]) tempY = ys[n,1]+100*(ys[n,2]-ys[n,1]) pt2.set_data([tempX],[tempY])k_text.set_text(textTemplate % ts[n]) return trace0, trace1, trace2, pt0, pt1, pt2, k_textani = animation.FuncAnimation(fig, animate, range(N), interval=10, blit=True)plt.show() ani.save("3.gif")

日地火

	质量 M M M	G M GM GM	与太阳距离	公转速度
地球	5.965 × 1 0 24 k g 5.965×10^{24}kg 5.965×1024kg	3.98 × 1 0 14 3.98×10^{14} 3.98×1014	1.5 × 1 0 11 m 1.5\times10^{11}m 1.5×1011m	28.8 k m / s 28.8km/s 28.8km/s
火星	6.4171 ? 1 0 23 k g 6.4171?10^{23}kg 6.4171?1023kg	4.28 × 1 0 13 4.28×10^{13} 4.28×1013	1.52 A . U . = 2.28 × 1 0 11 1.52 A.U.=2.28\times10^{11} 1.52A.U.=2.28×1011	24 k m / s 24km/s 24km/s

m = [1.33e20,3.98e14,4.28e13] x = np.array([0,1.5e11,2.28e11]) y = np.array([0.0,0,0]) u = np.array([0.0,0,0]) v = np.array([0,2.88e4,2.4e4])### 由于火星离地球很远，所以不必再改变尺度 def animate(n): trace0.set_data(xs[:n,0],ys[:n,0]) trace1.set_data(xs[:n,1],ys[:n,1]) trace2.set_data(xs[:n,2],ys[:n,2])pt0.set_data([xs[n,0]],[ys[n,0]]) pt1.set_data([xs[n,1]],[ys[n,1]]) pt2.set_data([xs[n,2]],[ys[n,2]])k_text.set_text(textTemplate % ts[n]) return trace0, trace1, trace2, pt0, pt1, pt2, k_text

得到

这个运动要比月球的运动简单得多——前提是开上帝视角，俯瞰太阳系。如果站在地球上观测火星的运动，那么这个运动可能相当带感

所以这都能找到规律，托勒密那帮人也真够有才的。
太阳系
由于太阳和其他星体之间的质量相差悬殊，所以太阳系内的多体运动，都将退化为二体问题，甚至如果把太阳当作不动点，那就成了单体问题了。
尽管如此，我们还是尽可能地模仿一下太阳系的运动情况

	质量	半长轴(AU)	平均速度(km/s)
水星	0.055	0.387	47.89
金星	0.815	0.723	35.03
地球	1	1	29.79
火星	0.107	1.524	24.13
木星	317.8	5.203	13.06
土星	95.16	9.537	9.64
天王星	14.54	19.19	6.81
海王星	17.14	30.07	5.43
冥王星

除了水星偏心率为0.2，对黄道面倾斜为7°之外，其余行星的偏心率皆小于0.1，且对黄道面倾斜普遍小于4°。由于水星的轨道太小，偏不偏心其实都不太看得出来，所以就当它是正圆也无所谓了，最后得图

文章图片

au,G,RE,ME = 1.48e11,6.67e-11,1.48e11,5.965e24m = np.array([3.32e5,0.055,0.815,1, 0.107,317.8,95.16,14.54,17.14])*ME*6.67e-11 r = np.array([0,0.387,0.723,1,1.524,5.203, 9.537,19.19,30.7])*RE theta = np.random.rand(9)*np.pi*2x = r*np.cos(theta) y = r*np.sin(theta)v = np.array([0,47.89,35.03,29.79, 24.13,13.06,9.64,6.81,5.43])*1000 u = -v*np.sin(theta) v = v*np.cos(theta)name = "solar.gif"fig = plt.figure(figsize=(10,10)) ax = fig.add_subplot(xlim=(-31*RE,31*RE),ylim=(-31*RE,31*RE)) ax.grid()traces = [ax.plot([],[],'-', lw=0.5)[0] for _ in range(9)] pts = [ax.plot([],[],marker='o')[0] for _ in range(9)]k_text = ax.text(0.05,0.85,'',transform=ax.transAxes) textTemplate = 't = %.3f days\n'N = 500 dt = 3600*50 ts =np.arange(0,N*dt,dt) xs,ys = [],[] for _ in ts: x_ij = (x-x.reshape(len(m),1)) y_ij = (y-y.reshape(len(m),1)) r_ij = np.sqrt(x_ij**2+y_ij**2) for i in range(len(m)): for j in range(len(m)): if i!=j : u[i] += (m[j]*x_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3) v[i] += (m[j]*y_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3) x += u*dt y += v*dt xs.append(x.tolist()) ys.append(y.tolist())xs = np.array(xs) ys = np.array(ys)def animate(n): for i in range(9): traces[i].set_data(xs[:n,i],ys[:n,i]) pts[i].set_data(xs[n,i],ys[n,i]) k_text.set_text(textTemplate % (ts[n]/3600/24)) return traces+pts+[k_text]ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, range(N), interval=10, blit=True)plt.show() ani.save(name)

由于外圈的行星轨道又长速度又慢，而内层的刚好相反，所以这个图很难兼顾，观感上也不太好看。
如果只画出木星之前的星体，顺便加上小行星带，可能会好一些。

通过这个图就能看出来，有一颗小行星被木星弹了过来，直冲冲地向地球赶来，幸好又被太阳弹了出去，可见小行星还是挺危险的，好在这只是个假想图。