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实验拓扑是什么意思 拓扑是什么意思

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仔细阅读下面这篇文章，思考文末互动提出的问题，严格按照互动进行:在评论区留言附上你的回答格式，就有机会获得重庆出版社提供的一套优质科普书籍《生命的进化》 。
橡皮泥几何简介
我在大学学拓扑学的时候，总是不可避免地遇到亲朋好友的提问:
“拓扑结构到底是什么？”
这个问题很难回答 。每次我给出的答案都略有不同，但答案总是不那么令人满意 。如果你曾经在网上搜索过拓扑学，你一定会碰到把甜甜圈变成咖啡杯的动画 。同样的，我的回答都和这个有关:为什么甜甜圈和咖啡杯在拓扑上是一样的，立方体和球体也是一样的 。但这样的回答并不能真正说明真正的拓扑是什么，拓扑是如何应用的，它的真正价值是什么 。
著名的咖啡杯和甜甜圈动画|维基
如果你有普通拓扑学的本科，可能很难把你学过的东西和熟悉的甜甜圈、咖啡杯动画联系起来 。本文的目的是建立一般拓扑学的基本概念，解释拓扑学与熟悉的动画和其他几何思想的关系 。接下来，我们将了解为什么把甜甜圈和咖啡杯视为同一个东西是有用和有价值的 。
总的来说，我发现很多人(包括我自己)都在试图理解如何将抽象的数学应用到实际的现实中 。了解了拓扑学的基本思想后，我们可以重新思考现实世界，这可能会产生意想不到的结果 。在此之前，我们将介绍一下拓扑学的基本概念，这也是理解拓扑学必不可少的定义 。
在拓扑空之间
拓扑空是一组具有最基本结构的数学对象 。数学中的结构通常意味着:数学对象之间的加法、乘法、距离或其他概念 。显然，这些结构适用于我们日常生活中遇到的数字 。
【实验拓扑是什么意思 拓扑是什么意思】但是，拓扑空之间的结构比加法、乘法和距离的思想更基本 。其实这些数之间的空是拓扑空之间的特例，也就是说实数实际上是拓扑空之间的特例 。
拓扑空之间的结构称为空拓扑 。的所有拓扑都是数学对象子集的集合，在空之间称为“开集” 。拓扑中包含的特定集合定义了空之间的结构 。这个概念看似模糊抽象，因为这是事实，它是数学中最抽象的结构形式 。
当然，你不必完全理解这个定义，只要记住拓扑及其内部的“开集”就可以确定空之间的结构 。同样重要的是，区分一个拓扑空和另一个拓扑空的是我们选择放入这个空拓扑的集合 。如果你感兴趣，这里有一个更正式的拓扑定义 。
拓扑空之间的定义
拓扑空之间的(X，τ)的数学对象集为X，拓扑空之间的拓扑为τ，包含X的一系列子集，满足以下条件:
1.x和空集合包含在τ中 。
2.τ中任何集合的并也在τ中 。
3.τ中集合的任何有限交也在τ中 。
那么，这与甜甜圈和咖啡杯有什么关系呢？
一般来说，拓扑空可以用几何对象(比如球体)来可视化:
图1:球体
拓扑空，代表一个球体，是点的集合 。如果在3D 空中绘制，它们将形成一个球体和一个拓扑 。如前所述，拓扑定义了空之间的结构，正是空之间的拓扑将这个球保持在一起 。我们可以把拓扑学想成“使所有点不落地的东西” 。它使球体保持单个物体的状态，而不仅仅是两个半球挤在一起 。现在，想象一个如下图所示的拓扑空:
图2:椭球体
假设上面的球体(图1)是橡皮泥做的，那么我们就可以很容易地把球体拉伸成另一个物体椭球体(图2) 。3D对象执行此操作的能力意味着这两个对象在拓扑结构上是相同的(等价的) 。这可能看起来很奇怪，但是仔细想想 。这两种形状有什么区别？虽然它们看起来不一样，但如果我们可以很容易地挤压或拉伸它们来改变它们的形状，它们真的是独一无二的吗？
这两个对象具有相同的拓扑，这意味着即使它们在几何上不同，它们在拓扑上也是完全等价的 。我们可以把橡皮泥拉伸成任何可以想象的奇怪形状，但是在拓扑世界里，所有这些形状都是一模一样的 。也许你对拉伸的形状一无所知，但关于如何拉伸橡皮泥有一些规则:
橡皮泥不允许有洞；
不允许把橡皮泥上的两点揉在一起(我们不能把球形的橡皮泥做成甜甜圈的形状) 。
如果我们在拉伸时违反了这些规则，那么这两个对象将不再是拓扑等价的 。拓扑学家将这种拉伸称为不打破既定规则的同胚，这只是一种在数学上精确描述如何保持橡皮泥形状具有相同拓扑性质的方法 。因此，如果我们可以得到两个拓扑空之间的同胚，那么这些空具有相同的拓扑，这意味着咖啡杯和甜甜圈动画 。
我们可以提供一个描述甜甜圈的拓扑空房间，然后想象我们的甜甜圈是橡皮泥做的，然后在不违反规则的情况下拉伸成咖啡杯的形状 。所以，是的，在拓扑学中，咖啡杯和甜甜圈是一回事 。
图3:看起来不是特别好吃的甜甜圈
为什么球体不是甜甜圈？
现在我们知道了如何判断拓扑中两个对象的一致性，接下来让我们看看如何判断它们在拓扑中的差异 。拓扑空之间有很多不同的属性可以区分它们 。对于三维物体，如球体和甜甜圈，我们可以用来区分它们的主要是它们有多少个孔 。如果一个对象比另一个对象有更多的洞，那么这两个对象在拓扑结构上是不同的 。这是因为他们违反了我们之前拉伸橡皮泥的规则 。要做一个洞，我们要么在橡皮泥上撕开一个洞，要么把橡皮泥拉伸成甜甜圈形状，然后把两端融合在一起 。
图4:我们可以把橡皮泥球塑造成甜甜圈的形状，但是不打破规则，边缘不能融合在一起 。当我们把它弯成甜甜圈时，通心粉形状的两个圆脸依然存在 。
另一种在拓扑学中区分三维物体的常用方法是想象在上面行走 。例如，在球体上行走 。假设你从某一点出发，一直在球面上绕着一个大圈走 。当你再次到达同一点时，你可以向任一方向旋转90度，然后再绕一个大圈 。在绕球的第二圈，你会穿过第一条路 。无论您在球面的哪个位置执行此操作，都会发生这种情况 。
图5:有两条相交路径的球体
这种现象也会发生在任何拓扑等价于球体的3D物体上 。但是，在一些拓扑上不等同于球体的对象上，有一些方法可以做到这一点，而不需要穿过第一条路径 。你可以在甜甜圈上看到这种现象 。
图6:如果我们从蓝色和绿色路径的交叉点开始，然后沿着绿色路径走，这条路径与我们已经走过的地方没有交集 。
对于拓扑等价的物体，它们的许多拓扑性质是相同的；对于拓扑不相等的对象，这些拓扑性质不一定相同 。这些拓扑性质是确定两个对象是否拓扑等价的重要工具 。
其他拓扑对象
到目前为止，我们只讨论了可以在3D中可视化的拓扑空空间，但是拓扑的一个优点是，它允许我们使用相同的方法来轻松描述存在于4维、5维或更高维中的对象 。
克莱因瓶常用于这种拓扑结构:
图7:3D空房间中Klein瓶的展示| youtube:Numberphile
严格来说，我们并不能在三维空的房间里实际观察到真正的克莱因瓶，但是通过让它自己穿越，我们可以对它的本质有所了解 。在四维空中，物体实际上并不穿越自身 。很难想象它会在第四维度弯曲重新连接自己 。克莱因瓶看起来有内侧和外侧，但你可以从一个特定的点沿着一条连续的路径 。你会经过克莱因瓶的“外”和“内”，最后回到原点，这说明克莱因瓶的3D表示在拓扑学上是同一个面 。所以克莱因瓶没有容积 。
然而，关于克莱因瓶子上的路径，一个有趣的事情是，如果你遵循上面的路径，当你回到原来的位置时，你实际上会成为你自己的镜像 。这是与克莱因瓶拓扑等价(或同胚)的对象的拓扑属性 。显然，克莱因瓶与球体或甜甜圈不是同胚的，因为无论我们如何在球体或甜甜圈上行走，当我们回到起点时，我们都不会是自己的镜像 。如果物体具有作为自身镜像的性质，则称之为不可定向的 。克莱因瓶不能定向，球和甜甜圈可以定向 。另一个著名的无方向性曲面是莫比乌斯带 。这个很容易用纸条做，网上有很多教程 。
当一只螃蟹走在莫比乌斯带上，回到原来的位置时，它是自己的镜像 。来源:维基共享资源
莫比乌斯带虽然不能定向，但在拓扑结构上并不等同于克莱因瓶，其结构是一个整体 。虽然可以通过将两个莫比乌斯带的边缘粘合在一起来构造克莱因瓶，但在三维空的房间里实际上是不可能的(可以试试) 。
用一张纸做一个油炸圈饼 。
研究3D 空中难以可视化的物体的拓扑更实际的方法是考虑它的键合图，它指导我们如何通过拉伸和键合2D形状的边来构造具有特定拓扑的物体 。
在考虑复杂形状的键合图之前，首先考虑较简单形状的键合图，甜甜圈:
图7:粘贴甜甜圈图片
我们假设图中的正方形是橡皮泥做的，然后想象拉伸正方形使相对的边粘在一起或者粘在一起 。当我们把这些边缘粘在一起时，我们需要箭头指向同一个方向 。因此，我们将上图扩展如下:
图8:如何从键合图中构造一个甜甜圈
下一张图与图7相似，只是两个红色箭头现在方向相反 。这意味着在将边缘粘合在一起之前，我们需要扭曲对象，使箭头指向相同的方向:
图9:更复杂的结合图
上面粘合图的第一步是拉伸正方形，使两条蓝线相交，然后我们构建一个圆柱体，就像构建甜甜圈的第一步一样 。粘合甜甜圈的红色箭头指向同一个方向，但是现在，这两个红色箭头指向相反的方向 。这意味着我们必须以某种方式扭转圆柱体的一端，使箭头指向相同的方向，然后再将它们粘在一起 。正如你可能认为的，这在物理上是不可能的 。因此，粘附图案产生的表面在物理上是不可能的 。但实际上，这是我们见过的物理上不可能的表面，克莱因瓶！
来源:tumblr上的Fouriest系列
粘合图是判断一个对象是否可以被定向的简单方法 。我们可以想象一下，在粘合图上行走的原理和《吃豆人》里的差不多 。当吃豆人到达世界的一端，它可以从另一端出来 。如果我们想象吃豆人在胶粘地图上移动，当它进入一面时，会从同色的另一面出现，箭头决定了它的方向 。
假设吃豆人进入圆形键合图的右侧，那么它会从左侧出现 。这就是普通吃豆人世界的拓扑结构 。
图10:吃豆人走在一个圆圈上 。
现在假设吃豆人进入克莱恩瓶键合图的右侧，然后，吃豆人会出现在左侧，不过是颠倒的:
图11:吃豆人走在克莱因瓶上
从上面的分析可以看出，键合图可以使我们很容易地考虑对象的一些拓扑属性，如果没有键合图，这些属性将很难理解和利用 。
拓扑为什么有用？
实际上，拓扑学在统计学领域非常有用 。统计学的一个新的研究领域是拓扑数据分析 。有用的数据通常具有某种结构，而这些结构具有某种规律或趋势，数据分析本质上就是揭示这种结构的过程 。在数据中寻找结构通常取决于我们如何看待数据，即使用了哪些统计检验，哪些变量与其他变量进行了比较，以及使用了哪些可视化表示 。
从拓扑结构我们知道，看起来完全不一样的东西，其实可以有一样的结构 。这个思路也可以应用到数据上，因为即使是处理同样的数据，如果从不同的角度看数据，可能看起来完全不一样 。
在拓扑数据分析中，将对数据结构进行拓扑处理 。我们知道，拓扑性质是在变换过程中保持不变的性质，不改变其拓扑性质 。所以在分析数据的拓扑数据时，主要寻找经过各种处理方法后保持不变的属性 。这个过程可以比作像拉伸橡皮泥一样拉伸数据 。这样，我们就可以确定数据的真实结构，而不再依赖于观察数据的方式 。
这只是所谓“现实世界”中众多拓扑应用之一 。其他拓扑应用也涉及到看起来不一样的东西实际上是不是一样的问题，这个问题在处理不同人用不同方式表达的相同信息时非常重要 。有几种表达方式不同的情况:分子结构、地理图、DNA结构和结等 。
虽然一开始可能很难看出，但是拓扑学是大多数数学领域的基础 。很难准确定义“如何使用”拓扑，因为它的存在在数学的工作方式中根深蒂固，以至于我们甚至没有注意到我们正在使用它 。直到最近，拓扑学才成为一门独立于其他数学领域的学科，新的研究成果和应用不断涌现 。
卢克·库珀
翻译:Nuor
版本:xux
原始链接:
https://medium . com/cantors-paradise/what-is-topology-963 ef 4c 6365
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编辑:aki

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