计算数学|循环制比赛要赢几场可能（一定）晋级计算数学|数学原理

循环制比赛要赢几场可能（一定）晋级

最近，世界杯正在如火如荼地进行。它的晋级规则胜平负分别积3、1、0分。每个小组积分的前两名球队出线进入淘汰赛阶段的1/8决赛，共16支队，即“16强”。积分相同的接下来看总净胜球数，还相同看总进球数，再相同只能抽签。16强后是对分PK剩下一半，一直选出冠军和亚军，前四强中的第三名和第四名要额外比一场，选出季军。

今天，我一直在想一个问题。在小组中，要赢了几场才能保证出线？有赢几场才有可能出线？显然，4进2的情况比较简单。下面考虑一般情况。
假如有n支队伍，两两进行pk，共比 n?(n?1)2n ? ( n ? 1 ) 2 场，没有平局，最后选出m个赢的场数最多的队伍（这里先不说积分的事），如果选最后一支晋级队伍时，多个并列，那么就抽签决定。
通过简单的数学计算，有以下结果：

要想有可能晋级，要赢的场数至少为：
?n?m2?? n ? m 2 ?
一定晋级，赢的场数最小为：
?2n?m?12?? 2 n ? m ? 1 2 ?
可能淘汰，只要输：
?m2?? m 2 ?
一定淘汰，只要输：
?m+n?12?? m + n ? 1 2 ?

1、事实上，可能晋级需要赢的场数+一定淘汰输的场数=n，一定晋级需要赢的场数+可能淘汰输的场数=n。所以其实只要考虑前两种即可。 2、可能晋级的情况，如果 n?m2n ? m 2 是个整数，那么有可能在选取最后一名晋级时，待选的n-m+1支队伍赢的场数都是 n?m2n ? m 2 ，这时候就要额外抽签决定晋级队伍。 3、可以把 ?2n?m?12?? 2 n ? m ? 1 2 ? 记为 ?n?m2+n?12?? n ? m 2 + n ? 1 2 ? ，表示要想保证晋级，感性上我们知道首先要有足够可能晋级的场数，另外至少要打败一半的队伍，方便记忆。更方便，只要记可能晋级赢的场数和可能淘汰输的场数即可。 4、世界杯主要考虑平局的情况，所以采用了积分制，给了平局一个权重。如果没有，只考虑胜负，那么积分制其实是没有意义的。不可能说我赢得场数比你多，输的比你少，结果最后积分没你高吧。 5、在比赛不考虑的平局的情况下，我们赢p局就有可能出线，赢q局一定出线，那么在考虑平局的时候，赢p局是不是仍然有可能出线，赢q局仍然一定出线呢？只是实际数据可能比这小点？这就意味着世界杯小组赛赢一局就有可能出线，赢3局必然出线（看起来像废话），为什么赢2局不一定出线呢？因为有可能有三个队伍都赢两局，并列第一，这时候就要看其他的因素了。

算例 【计算数学|循环制比赛要赢几场可能（一定）晋级】比如说10进3的循环赛，只要赢4场就有出线的可能，只要赢8场，那么就一定出线。（赢4场有晋级可能，输2场有淘汰可能）。