【NOIP2005】过河题解题解

题面【问题描述】在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。
【输入文件】输入文件river.in的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。
【输出文件】输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。
【样例输入】 10
2 3 5
2 3 5 6 7
【样例输出】 【【NOIP2005】过河题解】2
【数据规模】对于30%的数据，L <= 10000；
对于全部的数据， L <= 1≤L≤ 109，1≤s≤t≤10，1≤M≤100。
题解分析因为青蛙不能回头，满足无后效性原则，因此此题可用动规来解决
很容易想到：
对于任一位置x , 只能由前面[x-t , x-s]这个范围的位置跳过来，因此只要先求出这些位置踩的石子数，找个最少的位置跳过来就ok。因此很容易想到动态转移方程：

f[x]=min(f[x?j])+stone[x](j∈[s,t])
f[x]表示从桥头跳到x处需踩的最少石子数，stone[x]表示x处是否是石头（1表示是，0表示否）。
但对于10亿的数据，空间承受不了。
怎么办？？？
我们发现在长达10亿的桥上，只有最多100个石子，10亿中的100就像人体的几个细胞。
中间那么多的空隙该如何填补呢？？？
设第k个石子座标为x，第k-1个石子和第k个石子间距离足够大，则青蛙从两个石子间跳到第k个石子及之后的位置有：x、x+1、x+2、x+3……x+t-1。如果我们能保证，将石子k-1和石子k之间的距离缩短（即减少状态）后，青蛙依然能跳到这些位置，则可以平移。而这一点我们可以通过在两个石子间保留1个最小公倍数单位长度得到保证。
特别的：当s=t时，只需考查石子是否是s的倍数即可。这种情况单独考查。
至此我们得到了此题的解决方法。
代码

#include #include #define min(a, b) ((a)<(b)?(a):(b)) int num[101]; int f[10101]; int stone[10101]; int com(const void *a, const void *b) { return *(int *)a - *(int *)b; }int main(int argc, char **argv) { freopen("river.in","r",stdin); freopen("river.out","w",stdout); int i, j, k; int l, s, t, m; scanf("%d%d%d%d", &l, &s, &t, &m); for(i = 1; i <= m; i++){ scanf("%d", &num[i]); } if(s == t){ for(i = 1, j = 0; i <= m; i++){ if(num[i] % s == 0){ j++; } } printf("%d\n", j); return 0; } qsort(num, m + 1, sizeof(int), com); for(i = 1, j = 0; i <= m; i++){ if(num[i] - num[i - 1] > 100){ j += 100; stone[j] = 1; }else{ j += num[i] - num[i - 1]; stone[j] = 1; } } k = j + 100; for(i = 1; i <= k; i++){ f[i] = 0xFFFFFFF; for(j = s; j <= t; j++){ if(i - j < 0){ break; } f[i] = min(f[i], f[i - j] + stone[i]); } } printf("%d\n", f[k]); return 0; }

业精于勤荒于嬉，行成于思毁于随