线性代数重温|线性方程组和矩阵线性代数重温|线性代数

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关于特征值和特征向量的一些公式推导
线性方程组齐次和非齐次
设有 n n n个未知数的 m m m个线性方程组
(A) { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ? + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ? + a 2 n x n = b 2 , ? ? a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ? + a m n x n = b m , \left\{\begin{aligned} & a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ & a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ & \cdots\cdots\\ & a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\\ \end{aligned} \right.\tag{A} ?????????????a11?x1?+a12?x2?+?+a1n?xn?=b1?,a21?x1?+a22?x2?+?+a2n?xn?=b2?,??am1?x1?+am2?x2?+?+amn?xn?=bm?,?(A)
其中 a i j a_{ij} aij?是第 i i i个方程的第 j j j个未知数的系数， b i b_i bi?是第 i i i个方程的常数项， i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n i=1,2,\dots,m; j=1,2,\dots,n i=1,2,…,m; j=1,2,…,n，
当常数项 b 1 , b 2 , … , b m b_1,b_2,\dots,b_m b1?,b2?,…,bm?不全为零的时候。线性方程组 ( A ) (A) (A)叫做 n n n元非齐次线性方程组。
当常数项 b 1 , b 2 , … , b m b_1,b_2,\dots,b_m b1?,b2?,…,bm?全为零的时候。
(B) { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ? + a 1 n x n = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ? + a 2 n x n = 0 , ? ? a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ? + a m n x n = 0 , \left\{\begin{aligned} & a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0,\\ & a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0,\\ & \cdots\cdots\\ & a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0,\\ \end{aligned} \right.\tag{B} ?????????????a11?x1?+a12?x2?+?+a1n?xn?=0,a21?x1?+a22?x2?+?+a2n?xn?=0,??am1?x1?+am2?x2?+?+amn?xn?=0,?(B)
线性方程组 ( A ) (A) (A)叫做 n n n元齐次线性方程组。
平凡解和非平凡解对于n元齐次线性方程组 ( B ) (\mathbf{B}) (B)， x 1 = x 2 = ? = x n = 0 x_1=x_2=\cdots=x_n=0 x1?=x2?=?=xn?=0一定是它的解，这个解叫做其次线性方程组 ( B ) (\mathbf{B}) (B)的零解（也叫平凡解——大家都有没什么稀奇的）。
如果一组不为零的数是 ( B ) (\mathbf{B}) (B)的解，则它叫做齐次线性方程组 ( B ) (B) (B)的非零解。
其次线性方程组 ( B ) (\mathbf{B}) (B)一定有零解，但是不一定有非零解。
若 m < n m< n m ##方程组相容与不相容
如果线性方程组无解，则称该线性方程组是不相容的( i n c o n s i s t e n t inconsistent inconsistent)
如果线性方程组至少存在一个解，这称该方程组是相容的( c o n s i s t e n t consistent consistent)
等价方程组定义
若两个含有相同变量的方程组具有相同的解集，则称它们是等价的（ e q u i v a l e n t equivalent equivalent）
得到等价方程组的方法

交换任意两个方程的顺序（交换）
任一方程两边同乘一个非零的实数（数乘）
任一方程的倍数加到另一个方程上（倍加）

线性方程组的矩阵形式： A m × n x n × 1 = b m × 1 \mathbf{A}_{m\times n}\mathbf{x}_{n\times 1}=\mathbf{b}_{m\times 1} Am×n?xn×1?=bm×1?
当 b = 0 \mathbf{b}=\mathbf{0} b=0时得到 m m m个方程的 n n n元齐次线性方程组的矩阵形式
A m × n x n × 1 = 0 m × 1 \mathbf{A}_{m\times n}\mathbf{x}_{n\times 1}=\mathbf{0}_{m\times 1} Am×n?xn×1?=0m×1?
其中：
A = ( a i j ) \mathbf{A}=(a_{ij}) A=(aij?)为 b i b_i bi?系数矩阵，
x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) T \mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T x=(x1?,x2?,…,xn?)T为未知数矩阵
b = ( b 1 , b 2 , … , b m ) T \mathbf{b}=(b_1,b_2,\dots,b_m)^T b=(b1?,b2?,…,bm?)T为常数项矩阵
B = ( A , b ) = ( a 11 a 12 ? a 1 n b 1 a 21 a 22 ? a 2 n b 2 ? ? ? ? ? a m 1 a m 2 ? a m n b m ) \mathbf{B}=\left(\color{green}{\mathbf{A}},\color{pink}{\mathbf{b}}\right)=\begin{pmatrix} \color{green}{a_{11}} & \color{green}{a_{12} }& \color{green} \cdots & \color{green}{a_{1n} }& \color{pink}{b_1}\\ \color{green}{a_{21}} & \color{green}{a_{22}} & \color{green}\cdots & \color{green}{a_{2n}}& \color{pink}{b_2} \\ \color{green} \vdots & \color{green}\vdots & \color{green} \ddots & \vdots& \color{pink}\vdots\\ \color{green} {a_{m1}} & \color{green}{a_{m2}} & \color{green}\cdots & \color{green}{a_{mn}}& \color{pink}{b_m} \\ \end{pmatrix} B=(A,b)=??????a11?a21??am1??a12?a22??am2???????a1n?a2n??amn??b1?b2??bm????????
称为增广矩阵
严格三角矩阵若方程组中，第 k k k个方程的前 k ? 1 k-1 k?1个变量的系数均为零，且 x k ( k = 1 , … , n ) x_k(k=1,\dots,n) xk?(k=1,…,n)的系数不为零，则称该方程组为严格三角形的(strict triangular form)
关于增广矩阵增广矩阵的每一行第一个非零元对应的变量称为首变量(lead variables)
化简过程中跳过的列对应的变量称为自由变量(free variables)
线性方程组的超定和亚定超定：
若一个线性方程组的（ m > n m> n m>n）方程的个数多于未知量的个数，则称其为超定（ o v e r d e t e r m i n e d overdetermined overdetermined）超定方程组通常是（但不总是）不相容的。
###亚定：
若一个线性方程组的（ m < n m< n m方程的个数少于未知量的个数，则称其为亚定（ u n d e r d e t e r m i n e d underdetermined underdetermined）亚定方程组通常（但不总是）相容的，而且有无穷多解
亚定方程组不可能唯有一解，这是因为系数矩阵的行阶梯型均有 r ≤ m r\leq m r≤m个非零行。因此，必有 r r r个首变量和 n ? r n-r n?r个自由变量，其中 n ? r ≥ n ? m > 0 n-r\geq n-m > 0 n?r≥n?m>0,因此若方程相容，则可以给自由变量任意赋值，并且同时求得首变量的值，此时一个亚定的方程组会有无穷多解。
向量线性组合定义：若 a 1 , a 2 , … , a n \mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\dots,\mathbf{a_n} a1?,a2?,…,an?为 R m \mathbf{R}^m Rm中的向量，且 c 1 , c 2 , … , c n c_1,c_2,\dots,c_n c1?,c2?,…,cn?为标量，则和式
c 1 a 1 + c 2 a 2 + ? + c n a n c_1\mathbf{a_1}+c_2\mathbf{a_2}+\cdots+c_n\mathbf{a_n} c1?a1?+c2?a2?+?+cn?an?
称为向量 a 1 , a 2 , … , a n \mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\dots,\mathbf{a_n} a1?,a2?,…,an?的一个线性组合（linear combination）
线性方程组的相容定理
一个线性方程组 A x = b \color{red}{\mathbf{A}}\color{blue}{\mathbf{x}}=\color{lightgreen}{\mathbf{b}} Ax=b相容的充要条件是向量 b \color{lightgreen}{\mathbf{b}} b可以写成矩阵 A \color{red}{\mathbf{A}} A列向量的一个线性组合
线性方程组的解定理

n n n元线性方程组 A x = b A\mathbf{x}=\mathbf{b} Ax=b
( i ) (i) (i)无解的充分必要条件是 R ( A ) < R ( A , b ) R(A)< R(A,\mathbf{b}) R(A)
( i i ) (ii) (ii)有唯一解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) = n R(A)=R(A,\mathbf{b})=n R(A)=R(A,b)=n
( i i i ) (iii) (iii)有无穷多解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) < n R(A)=R(A,\mathbf{b})< n R(A)=R(A,b)

定理
n n n元齐次线性方程组 A x = 0 A\mathbf{x}=0 Ax=0有非零解的充分必要条件是 R ( A ) < n R(A)< n R(A) 定理
线性方程组 A x = b A\mathbf{x}=\mathbf{b} Ax=b有解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) R(A)=R(A,\mathbf{b}) R(A)=R(A,b)
定理
矩阵方程 A m × n X n × l = B m × l A_{m\times n}X_{n\times l}=B_{m\times l} Am×n?Xn×l?=Bm×l?有解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , B ) R(A)=R(A,B) R(A)=R(A,B)
定理
设 A B = C AB=C AB=C，则 R ( C ) ≤ min ? { R ( A ) , R ( B ) } R(C)\leq\min\{R(A),R(B)\} R(C)≤min{R(A),R(B)}
矩阵矩阵的定义由 m × n m\times n m×n个数 a i j ( i = 1 , 2 , ? , m ; j = 1 , 2 , ? , n ) a_{ij}(i=1,2,\cdots,m; j=1,2,\cdots,n) aij?(i=1,2,?,m; j=1,2,?,n)排成 m m m行 n n n列的数表
a 11 a 12 ? a 1 n a 21 a 22 ? a 2 n ? ? ? ? a m 1 a m 2 ? a m n \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{matrix} a11?a21??am1??a12?a22??am2???????a1n?a2n??amn??
此时称其为 m m m行 n n n列的矩阵，简称 m × n m\times n m×n矩阵，为了表示它是一个整体，总是加一个括号，并且使用大写字母表示它。
A = ( a 11 a 12 ? a 1 n a 21 a 22 ? a 2 n ? ? ? ? a m 1 a m 2 ? a m n ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} A=??????a11?a21??am1??a12?a22??am2???????a1n?a2n??amn????????
矩阵的几种表示形式：以 a i j a_{ij} aij?作为 ( i , j ) (i,j) (i,j)元的矩阵可以简记为 ( a i j ) (a_{ij}) (aij?)或者 ( a i j ) m × n (a_{ij})_{m\times n} (aij?)m×n?
m × n m\times n m×n的矩阵 A \mathbf{A} A也可以记作 A m × n \mathbf{A}_{m\times n} Am×n?
几种特殊矩阵行向量（ 1 × n 1\times n 1×n）
只有一行的矩阵
A = ( a 1 , a 2 , … , a n ) \mathbf{A}=(a_1,a_2,\dots,a_n) A=(a1?,a2?,…,an?)
称为行矩阵，或者行向量
列向量（ m × 1 m\times 1 m×1）
只有一列的矩阵
B = ( b 1 b 2 ? b m ) \mathbf{B}=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \\ \end{pmatrix} B=??????b1?b2??bm????????
称为列矩阵，又称列向量
方阵
如果矩阵的行数和列数都为 n n n则称矩阵 A \mathbf{A} A为** n n n阶方阵**，或者** n n n阶矩阵**
同型矩阵
如果两个矩阵的行数和列数相同，则称他们是同型矩阵
###矩阵相等
如果两个矩阵 A = ( a i j ) \mathbf{A}=(a_{ij}) A=(aij?)和 B = ( b i j ) \mathbf{B}=(b_{ij}) B=(bij?)是同型矩阵，并且他们的对应元素相等
即： a i j = b i j ( i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n ) a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\dots,m; j=1,2,\dots,n) aij?=bij?(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
则称矩阵 A A A和矩阵 B B B相等
零矩阵
如果矩阵的元素都为零则称矩阵为零矩阵，记作 O O O,不同型的零矩阵是不同的。
三角和对角矩阵(方阵)
三角一个 n × n n\times n n×n的矩阵 A \mathbf{A} A
当 i > j i> j i>j则称其是上三角形的矩阵
当 i < j i< j i则称其是下三角形的矩阵
当矩阵 A A A为上三角形矩阵或者下三角形的矩阵则称 A A A为三角形矩阵
对角一个 n × n n\times n n×n的矩阵 A \mathbf{A} A
当 i ≠ j i\neq j i??=j时， a i j = 0 a_{ij}=0 aij?=0则称其是对角矩阵
单位矩阵(方阵)
正如数字 1 1 1是实数乘法中的单位元一样，也存在一个特殊矩阵 I I I是矩阵乘法中的单位元，即：
I A = A I = A \mathbf{IA}=\mathbf{AI}=\mathbf{A} IA=AI=A
对任意的 n × n n\times n n×n矩阵 A \mathbf{A} A都成立。
定义 n × n n\times n n×n的单位矩阵（identity matrix）为矩阵 I = ( δ i j ) \mathbf{I}=(\delta_{ij}) I=(δij?)，其中
δ i j = { 1 当 i = j 0 当 i ≠ j \delta_{ij}=\left\{\begin{aligned} & 1& \text{当}i=j\\ & 0& \text{当}i\neq j\\ \end{aligned}\right. δij?={?10?当i=j当i??=j?
逆矩阵(方阵)
定义若存在一个矩阵 B \mathbf{B} B使得 B A = A B = I \mathbf{BA}=\mathbf{AB}=\mathbf{I} BA=AB=I,则称矩阵 A \mathbf{A} A为非奇异的(nonsingular)或者可逆的(invertible)(大概是因为 n × n n\times n n×n的矩阵行列式大多数都不为零)
此时矩阵 B \mathbf{B} B称为矩阵 A \mathbf{A} A的乘法逆元(multiplicative inverse)
逆元的唯一性若 B \mathbf{B} B和 C \mathbf{C} C都是 A \mathbf{A} A的乘法逆元，则
B = B I = B ( A C ) = ( B A ) C = I C = C \mathbf{B}=\mathbf{BI}=\mathbf{B(AC)}=\mathbf{(BA)C}=\mathbf{IC}=\mathbf{C} B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C
初等矩阵（方阵）
定义从单位矩阵 I \mathbf{I} I开始，只进行一次初等行变化,得到的矩阵称为初等矩阵
三类初等矩阵原先的矩阵
I = E 0 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) \mathbf{I}=\mathbf{E}_0=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{pmatrix} I=E0?=???100?010?001????
交换
第一类初等矩阵由交换 I \mathbf{I} I的两行得到
E 1 = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) \mathbf{E}_1=\begin{pmatrix} 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{pmatrix} E1?=???010?100?001????
数乘
第二类初等矩阵由 I \mathbf{I} I的某一行乘以一个非零常数得到
E 2 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 3 ) \mathbf{E}_2=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 3\\ \end{pmatrix} E2?=???100?010?003????
倍加
第一类初等矩阵由 I \mathbf{I} I的一行倍加到另一行得到
E 3 = ( 1 0 3 0 1 0 0 0 1 ) \mathbf{E}_3=\begin{pmatrix} 1& 0& 3\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{pmatrix} E3?=???100?010?301????
一般的假设:
如果 A \mathbf{A} A是一个 m × n m\times n m×n的矩阵， A \mathbf{A} A左乘 E \mathbf{E} E等价于对 A \mathbf{A} A进行相应的行运算。
如果 B \mathbf{B} B是一个 m × n m\times n m×n的矩阵， B \mathbf{B} B右乘 E \mathbf{E} E等价于对 B \mathbf{B} B进行相应的列运算。
(i) A ～ r B \mathbf A \mathop{\sim}\limits^{r} \mathbf B A～rB ? \Leftrightarrow ?存在 m m m阶可逆矩阵 P P P使得 P A = B PA=B PA=B
(ii) A ～ c B \mathbf A \mathop{\sim}\limits^{c}\mathbf B A～cB ? \Leftrightarrow ?存在 n n n阶可逆矩阵 Q Q Q使得 A Q = B AQ=B AQ=B
(iii) A ～ B \mathbf A\sim\mathbf B A～B ? \Leftrightarrow ?存在 m m m阶可逆矩阵 P P P， n n n阶可逆矩阵 Q Q Q使得 P A Q = B PAQ=B PAQ=B
相关概念定理：
若 E \mathbf{E} E为一个初等矩阵，则 E \mathbf{E} E是非奇异的，则 E ? 1 \mathbf{E}^{-1} E?1为与它同类型的初等矩阵
定义：
若存在一个有限初等矩阵的序列 E 1 , E 1 , … , E k \mathbf{E}_1,\mathbf{E}_1,\dots,\mathbf{E}_k E1?,E1?,…,Ek?，使得
B = E k E k ? 1 , ? , E 1 A \mathbf{B}=\mathbf{E}_k\mathbf{E}_{k-1},\cdots,\mathbf{E}_1\mathbf{A} B=Ek?Ek?1?,?,E1?A
则称 A \mathbf{A} A和 B \mathbf{B} B 为行等价
行阶梯型矩阵若非零矩阵 A A A满足：
(i)非零行在零行上面
(ii)非零行的首非零元所在列的上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵
进一步：
如果 A A A是行阶梯形矩阵，并且还满足：(i)非零行的首非零元为 1 1 1
(ii)非零行所在的列的其他元均为0，则称 A A A为行最简形矩阵
矩阵的秩定义：
在 m × n m\times n m×n矩阵 A A A中，任意取 k k k行和 k k k列( k ≤ m , k ≤ n k\leq m,k\leq n k≤m,k≤n)，位于这些行列式交叉处的 k 2 k^2 k2个元素，不改变他们在 A A A中所处的位置次序而得到的 k k k阶行列式，称为矩阵 A A A的 k k k阶子式
引理：
假设 A ～ r B A\mathop{\sim}\limits^{r}B A～rB则 A A A与 B B B中非零子式的最高阶数相等
定义：
假设在矩阵 A A A中有一个不等于 0 0 0的 r r r阶子式 D D D，且所有 r + 1 r+1 r+1阶子式(如果存在的话)全等于 0 0 0，那么 D D D称为 A A A的最高阶非零子式，数 r r r称为矩阵 A A A，记作 R ( A ) R(A) R(A)，并且规定零矩阵的秩等于 0 0 0
【线性代数重温|线性方程组和矩阵】对于方阵
可逆矩阵$\Leftrightarrow< f o n t c o l o r = " r e d " s i z e = " 5 " > 满秩矩阵 < / f o n t > < f o n t c o l o r = " b l u e " s i z e = " 5 " > 不可逆可逆矩阵（奇异矩阵） < / f o n t > < font color=" red" size=" 5" > 满秩矩阵< /font> < font color=" blue" size=" 5" > 不可逆可逆矩阵（奇异矩阵）< /font> 满秩矩阵不可逆可逆矩阵（奇异矩阵）\Leftrightarrow $降秩矩阵
矩阵秩的基本性质
对于

1 : 0 ≤ R ( A m × n ) ≤ min ? { m , n } 1:0\leq{R(A_{m\times n})\leq\min\{m,n\}} 1:0≤R(Am×n?)≤min{m,n}
2 : R ( A n × m T ) = R ( A m × n ) 2:R(A^T_{n\times m})=R(A_{m\times n}) 2:R(An×mT?)=R(Am×n?)
3 : 若 A m × n ～ B m × n ，则 R ( A m × n ) = R ( B m × n ) 3:若A_{m\times n}\sim B_{m\times n}，则R(A_{m\times n})=R(B_{m\times n}) 3:若Am×n?～Bm×n?，则R(Am×n?)=R(Bm×n?)
4 : 若 P m × m 、 Q n × n 可逆 , 则 R ( P m × m A m × n Q n × n ) = R ( A m × n ) 4:若P_{m\times m}、Q_{n\times n}可逆,则R(P_{m\times m}A_{m\times n}Q_{n\times n})=R(A_{m\times n}) 4:若Pm×m?、Qn×n?可逆,则R(Pm×m?Am×n?Qn×n?)=R(Am×n?)
5 : max ? { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) 5:\max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B) 5:max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
6 : R ( A + B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) 6:R(A+B)\leq R(A)+R(B) 6:R(A+B)≤R(A)+R(B)
7 : R ( A B ) ≤ min ? { R ( A ) , R ( B ) } 7:R(AB)\leq \min\{R(A),R(B)\} 7:R(AB)≤min{R(A),R(B)}
8 : 若 A m × n B n × l ，则 R ( A ) + R ( B ) ≤ n 8:若A_{m\times n}B_{n\times l}，则R(A)+R(B)\leq n 8:若Am×n?Bn×l?，则R(A)+R(B)≤n