数学|大二下（概率论与数理统计复习期末试题A）数学|复习

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一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
二、单项选择题（每小题4 分，共20 分）
四、计算题（第12-14 题，每题8 分；第15-16 题，每题10 分；第17 题12 分；共60 分）

【数学|大二下（概率论与数理统计复习期末试题A）】
一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）

已知 P ( A ) = 0.8 , P ( A ? B ) = 0.4 , 则 P ( A B ￣ ) =0.6￣ . 已知P(A)=0.8, P(A-B)=0.4 ,则 P(\overline{AB})=\underline{\ 0.6\ }. 已知P(A)=0.8,P(A?B)=0.4,则P(AB)= 0.6 ?.
解：因为 P ( A ? B ) = P ( A ) – P ( A B ) ，所以 P ( A B ) = 0.4 ，进而 P ( A B ￣ ) = 1 ? P ( A B ) = 0.6 解：因为P(A-B) = P(A) – P(AB)，所以P(AB) = 0.4，进而P(\overline{AB}) = 1-P(AB) = 0.6 解：因为P(A?B)=P(A)–P(AB)，所以P(AB)=0.4，进而P(AB)=1?P(AB)=0.6
设 X 服从二项分布 b ( 3 , 0.6 ) , 则 E ( X ) =1.8￣ . 设 X 服从二项分布 b(3, 0.6) ,则E(X)=\underline{\ 1.8\ }. 设X服从二项分布b(3,0.6),则E(X)= 1.8 ?.
解：二项分布 B ( n , p ) 的数学期望为： n p ，方差为： n p ( 1 ? p ) 解：二项分布B(n,p)的数学期望为：np，方差为：np(1-p) 解：二项分布B(n,p)的数学期望为：np，方差为：np(1?p)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f ( x , y ) = { a x y 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 0 , 其他 f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}{a x y^{2},} & {0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1} \\ {0,} & 其他\end{array}\right. f(x,y)={axy2,0,?0≤x≤2,0≤y≤1其他?则 a =3 2￣ a=\underline{\ \frac{3}{2}\ } a= 23? ?
解：
1 = ∫ 0 2 ∫ 0 1 a x y 2 d y d x 1=\int_0^2\int_0^1axy^2dydx 1=∫02?∫01?axy2dydx
1 = ∫ 0 2 a x y 3 3 ∣ 0 1 d x 1=\int_0^2\frac{axy^3}{3}|_0^1dx 1=∫02?3axy3?∣01?dx
1 = ∫ 0 2 a x 3 d x 1=\int_0^2\frac{ax}{3}dx 1=∫02?3ax?dx
1 = a x 2 6 ∣ 0 2 1=\frac{ax^2}{6}|_0^2 1=6ax2?∣02?
4 a 6 = 1 \frac{4a}{6}=1 64a?=1
a = 6 4 = 3 2 a=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} a=46?=23?
设 X ～ t n , 则 X 2 ～F 1 , n￣ . 设X\sim t_n ,则X^2\sim\underline{\ F_{1,n}\ }. 设X～tn?,则X2～ F1,n? ?.
设总体 X ～ B ( n , p ) X\sim B(n,p) X～B(n,p) , X 1 ,… X n ,X_1,\ …X_n ,X1?, …Xn?是从总体 X X X中抽取的一个样本,则参数p的矩估
量为 p ^ =X ￣ n￣ . \hat{p}=\underline{\ \frac{\overline{X}}{n}\ }. p^?= nX? ?.
解：二项分布 B ( n , p ) 的数学期望为 n p ，则 n p = X ￣ ? p ^ = X ￣ n 解：二项分布B(n,p)的数学期望为np，则np=\overline{X}\Rightarrow\hat{p}=\frac{\overline{X}}{n} 解：二项分布B(n,p)的数学期望为np，则np=X?p^?=nX?
设 X 1 , X 2 ,. . .X n X_1,X_2,\ ...\ X_n X1?,X2?, ... Xn?为来自正态总体 N ( μ , 4 ) N(\mu,4) N(μ,4)的简单样本,则均值 μ \mu μ的置信系数为 1 ? α 1-\alpha 1?α的置信区间为[ X ￣ ? 2 n Z α 2 , X ￣ + 2 n Z α 2 ]￣ . \underline{\ [\overline{X}-\frac{2}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X}+\frac{2}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}] \ }.[X?n ?2?Z2α??,X+n ?2?Z2α??] ?.
解：设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1?,X2?,...,Xn?为来自正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)的简单样本， σ 2 \sigma^2 σ2已知，则均值 μ \mu μ的置信系数为 1 ? α 1-\alpha 1?α的置信区间为[ X ￣ ? σ n Z α 2 , X ￣ + σ n Z α 2 ]￣ . \underline{\ [\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}] \ }.[X?n ?σ?Z2α??,X+n ?σ?Z2α??] ?.

二、单项选择题（每小题4 分，共20 分）

对于任意两事件A与B ,下列命题正确的是(B)
A.A B ≠ ? , 则 A 与 B 一定独立 AB\ne\varnothing ,则A与B 一定独立 AB?=?,则A与B一定独立
B.A B ≠ ? , 则 A 与 B 有可能独立 AB\ne\varnothing ,则A 与B 有可能独立 AB?=?,则A与B有可能独立
C.A B = ? , 则 A 与 B 一定独立 AB=\varnothing, 则A与B一定独立 AB=?,则A与B一定独立
D.A B = ? , 则 A 与 B 一定不独立 AB=\varnothing, 则A与B一定不独立 AB=?,则A与B一定不独立
解： B 正确 . 解：B 正确. 解：B正确.
定义：如果等式 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) 成立，则称事件 A 与 B 相互独立。如果 A = Ф , 则 P ( A B ) = 0 = P ( A ) P ( B ) , 于是 A , B 相互独立 , 也就是不可能事件与任何事件独立 . 因此 D 不正确 . 定义：如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与B相互独立。如果A=Ф,则P(AB)=0=P(A)P(B),于是A,B相互独立,也就是不可能事件与任何事件独立. 因此D不正确. 定义：如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与B相互独立。如果A=Ф,则P(AB)=0=P(A)P(B),于是A,B相互独立,也就是不可能事件与任何事件独立.因此D不正确.
设 X 1 , X 2 , X 3 均服从 [ 0 , 2 ] 上的均匀分布 , 则 E ( ? X 1 + 9 X 2 + 3 X 3 ) 为 ( C ) 设X_1,X_2,X_3均服从[0,2]上的均匀分布,则E(-X_1+9X_2+3X_3)为(C) 设X1?,X2?,X3?均服从[0,2]上的均匀分布,则E(?X1?+9X2?+3X3?)为(C)
A .9 B .10 C .11 D .13 A.\ 9\qquad B.\ 10\qquad C.\ 11\qquad D.\ 13 A. 9B. 10C. 11D. 13
解：解：解：
均匀分布 U ( a , b ) 的数学期望为 a + b 2 ，则 E ( ? X 1 + 9 X 2 + 3 X 3 ) = ? E ( X 1 ) + 9 E ( X 2 ) + 3 E ( X 3 ) = ? 1 + 9 + 3 = 11 均匀分布U(a,b)的数学期望为\frac{a+b}{2}，则E(-X_1+9X_2+3X_3)=-E(X_1)+9E(X_2)+3E(X_3)=-1+9+3=11 均匀分布U(a,b)的数学期望为2a+b?，则E(?X1?+9X2?+3X3?)=?E(X1?)+9E(X2?)+3E(X3?)=?1+9+3=11
设 X , Y 为随机变量 , 若 E ( X Y ) = E ( X ) + E ( Y ) , 则有的 ( A ) . 设 X ,Y 为随机变量,若E(XY)=E(X)+E(Y) ,则有的(A). 设X,Y为随机变量,若E(XY)=E(X)+E(Y),则有的(A).
A .V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) B .V a r ( X Y ) = V a r ( X ) V a r ( Y ) C .X 和 Y 相互独立 D .X 和 Y 不独立 \begin{aligned} &A.\ Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) &B.\ Var(XY)=Var(X)Var(Y)\\ &C.\ X 和Y 相互独立 &D.\ X 和Y 不独立 \end{aligned} ?A. Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)C. X和Y相互独立?B. Var(XY)=Var(X)Var(Y)D. X和Y不独立?
解：
C o v ( X , Y ) = E ( X Y ) ? E ( X ) E ( Y ) , V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y),Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
∵ E ( X Y ) = E ( X ) + E ( Y ) ∴ C o v ( X , Y ) = 0 ? V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) \because E(XY)=E(X)+E(Y)\therefore Cov(X,Y)=0\Rightarrow Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) ∵E(XY)=E(X)+E(Y)∴Cov(X,Y)=0?Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
设 X 与 Y 为相互独立的随机变量 , 其分布函数分别为 F x ( X ) 和 F y ( Y ) , 则随机变量 Z = m a x ( X , Y ) 的分布函数为 ( D ) . 设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为F_x(X)和F_y(Y),则随机变量 Z=max(X,Y)的分布函数为(D). 设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为Fx?(X)和Fy?(Y),则随机变量Z=max(X,Y)的分布函数为(D).
A.1 ? F X ( x ) F Y ( y ) B .1 ? [ 1 ? F X ( x ) ] ? [ 1 ? F Y ( y ) ]C.[ 1 ? F X ( x ) ] ? [ 1 ? F Y ( y ) ] D .F X ( x ) F Y ( y ) \begin{array}{ll}{\text { A. } 1-F_{X}(x) F_{Y}(y)} & {B.\ 1-\left[1-F_{X}(x)\right] \cdot\left[1-F_{Y}(y)\right]} \\ {\text { C. }\left[1-F_{X}(x)\right] \cdot\left[1-F_{Y}(y)\right]} & {D.\ F_X(x)F_Y(y)}\end{array}A. 1?FX?(x)FY?(y) C. [1?FX?(x)]?[1?FY?(y)]?B. 1?[1?FX?(x)]?[1?FY?(y)]D. FX?(x)FY?(y)?
解：解：解：
设 X 与 Y 为相互独立的随机变量 , 其分布函数分别为 F x ( X ) 和 F y ( Y ) , 则随机变量 Z = m i n ( X , Y ) 的分布函数为 : 1 ? [ 1 ? F X ( x ) ] ? [ 1 ? F Y ( y ) ] ， Z = m a x ( X , Y ) 的分布函数为 : F X ( x ) F Y ( y ) 设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为F_x(X)和F_y(Y),则随机变量 Z=min(X,Y)的分布函数为:1-\left[1-F_{X}(x)\right] \cdot\left[1-F_{Y}(y)\right]，Z=max(X,Y)的分布函数为:F_X(x)F_Y(y) 设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为Fx?(X)和Fy?(Y),则随机变量Z=min(X,Y)的分布函数为:1?[1?FX?(x)]?[1?FY?(y)]，Z=max(X,Y)的分布函数为:FX?(x)FY?(y)

四、计算题（第12-14 题，每题8 分；第15-16 题，每题10 分；第17 题12 分；共60 分）

设两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.1，第二台出现废品的概率为0.2，已知两台机床生产的成品比例为1:2，加工出来的零件放在一起，求：在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品，问此次品是由第一台机床生产的概率为多少？
解：解：解：
设 A = { 零件是废品 } , B 1 = { 零件由第一台机床加工 } , B 2 = { 零件由第二台机床加工 } ，则设A=\{零件是废品\}, B_1=\{零件由第一台机床加工\}, B_2=\{零件由第二台机床加工\}，则设A={零件是废品},B1?={零件由第一台机床加工},B2?={零件由第二台机床加工}，则
P ( B 1 ) = 1 3 , P ( B 2 ) = 2 3 P ( A ∣ B 1 ) = 0.01 , P ( A ∣ B 2 ) = 0.02 \begin{aligned} &P(B_1)=\frac{1}{3},&P(B_2)=\frac{2}{3}\\ &P(A|B_1)=0.01,&P(A|B_2)=0.02 \end{aligned} ?P(B1?)=31?,P(A∣B1?)=0.01,?P(B2?)=32?P(A∣B2?)=0.02?
由贝叶斯公式，得由贝叶斯公式，得由贝叶斯公式，得
P ( A ∣ B 1 ) = P ( B 1 ) P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) P ( A ∣ B 1 ) + P ( B 2 ) P ( A ∣ B 2 ) = 1 3 × 1 100 1 3 × 1 100 + 2 3 × 2 100 = 1 5 = 0.2 \begin{aligned} P(A|B_1)&=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)}\\ &=\frac{\frac{1}{3}\times\frac{1}{100}}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{100}+\frac{2}{3}\times\frac{2}{100}}\\ &=\frac{1}{5}=0.2 \end{aligned} P(A∣B1?)?=P(B1?)P(A∣B1?)+P(B2?)P(A∣B2?)P(B1?)P(A∣B1?)?=31?×1001?+32?×1002?31?×1001??=51?=0.2?
∴ 若已知取到的是次品，则此次品是由第一台机床生产的概率为 0.2 \therefore 若已知取到的是次品，则此次品是由第一台机床生产的概率为0.2 ∴若已知取到的是次品，则此次品是由第一台机床生产的概率为0.2
设连续型随机变量 X 的分布函数为设连续型随机变量X的分布函数为设连续型随机变量X的分布函数为 F ( x ) = { 0 , x < 1 ln ? x , 1 ≤ x < e 1 , x ≥ e F(x)=\left\{\begin{array}{cc}{0,} & {x<1} \\ {\ln x,} & {1 \leq x
（ 1 ） P { 2 < x ≤ 3 } ．（ 2 ） X 的概率密度函数 f ( x ) . （1）P\{2
解：解：解：
( 1 ) P { 2 < x ≤ 3 } = 1 ? ln ? 2 (1)P\{2
( 2 ) ∵ ( ln ? x ) ′ = 1 x (2)\because (\ln x)'=\frac1x (2)∵(lnx)′=x1?
∴ f ( x ) = { 1 x , 1 ≤ x ≤ e 0 , 其他 \therefore f(x)=\left\{\begin{array}{cc}{\frac1x,} & {1 \le x\le e} \\ {0,} & {其他}\end{array}\right. ∴f(x)={x1?,0,?1≤x≤e其他?
注：
- 分布函数是右连续的（x的区间左闭右开），一般左边要考虑等号。
- 密度函数是无所谓的，等号可加可不加，一般不用加。若加，应和分布函数保持一致。
  为什么无所谓？这是由于概率密度函数的研究对象是连续型的随机变量，我们知道连续型随机变量的单点概率为0。
  单点概率为 0 ： P { X = a } = 0 (3) 单点概率为0：P\{X=a\}=0 \tag{3} 单点概率为0：P{X=a}=0(3)
  P { a < X ≤ b } = P { a ≤ X ≤ b } = P { a < X < b } = F ( b ) ? F ( a ) (4) P\{aP { X > a } = 1 ? F ( a ) (5) P\{X>a\}=1-F(a) \tag{5} P{X>a}=1?F(a)(5)
  如果细究，则对于分段函数的分界点处，需要看看左右导数是否相等，相等，则有导数，则f（x）在分界点处取等号，不相等，则无导数，f（x）在分界点处不取等号。
  例如此题，F（x）在x=1点处的左导数为0，右导数为1，左右导数不相等，所以在x=1点处不可导，所以1/x的范围就没有x=1这点，而x=e这点左导数为1/e，右导数为0，左右导数也不相等，所以也不可导，所以也没有等于e这点。
设随机变量 X ～ N ( 0 , 1 ) , 试求随机变量 Y = 2 X ? 1 的概率密度函数．设随机变量 X\sim N(0,1) ,试求随机变量Y=2X-1的概率密度函数．设随机变量X～N(0,1),试求随机变量Y=2X?1的概率密度函数．
解：解：解：
∵ 正态分布 \because正态分布 ∵正态分布 N ( μ , σ 2 ) 的概率密度函数为： N(\mu, \sigma^2)的概率密度函数为： N(μ,σ2)的概率密度函数为： f ( x ) = 1 2 π σ e ? ( x ? μ ) 2 2 σ 2 ,( ? ∞ < x < + ∞ ) \LARGE f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \ (-\infty∴ f X ( x ) = 1 2 π e ? x 2 2 ,( ? ∞ < x < + ∞ ) \therefore \LARGE f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},\ (-\infty∴ F Y ( y ) = P { Y ≤ y } = P { 2 X ? 1 ≤ y } = P { X ≤ y + 1 2 } = F X ( y + 1 2 ) \therefore\LARGE F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{2X-1\le y\}=P\{X\le\frac{y+1}{2}\}=F_X(\frac{y+1}{2}) ∴FY?(y)=P{Y≤y}=P{2X?1≤y}=P{X≤2y+1?}=FX?(2y+1?)
∴ f Y ( y ) = f X ( y + 1 2 ) × ( y + 1 2 ) ′ = 1 2 f X ( y + 1 2 ) \therefore \LARGE f_Y(y)=f_X(\frac{y+1}{2})\times(\frac{y+1}{2})'=\frac{1}{2}f_X(\frac{y+1}{2}) ∴fY?(y)=fX?(2y+1?)×(2y+1?)′=21?fX?(2y+1?)
= 1 2 × 1 2 π e ? ( y + 1 2 ) 2 2 ,( ? ∞ < x < + ∞ ) \qquad\qquad\quad\ \ \LARGE=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\frac{y+1}{2})^2}{2}},\ (-\infty= 1 2 2 π e ? ( y + 1 ) 2 8 ,( ? ∞ < x < + ∞ ) \qquad\qquad\quad\ \ \LARGE=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(y+1)^2}{8}},\ (-\infty
设二维随机向量 ( X , Y ) 的概率密度函数为 f ( x , y ) = { 4.8 y ( 2 ? x ) , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x 0 , 其他 , 求边缘概率密度函数 f X ( x ) , f Y ( y ) . 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}{4.8 y(2-x),} & {0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x} \\ {0,} & 其他\end{array}\right.,求边缘概率密度函数f_X(x),f_Y(y). 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={4.8y(2?x),0,?0≤x≤1,0≤y≤x其他?,求边缘概率密度函数fX?(x),fY?(y).
解 1 ：解1：解1：

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解 2 ：解2：解2：

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Y（y）为什么从y到1?

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设随机变量 X ～ N ( 0 , 4 ) , Y ～ U ( 0 , 4 ) , 并且 X 与 Y 相互独立 , 求 V a r ( X + Y ) 和 V a r ( 2 X ? 3 Y ) . 设随机变量 X\sim N(0,4) ,Y\sim U(0,4) ,并且X与Y相互独立,求Var(X+Y)和Var(2X-3Y) . 设随机变量X～N(0,4),Y～U(0,4),并且X与Y相互独立,求Var(X+Y)和Var(2X?3Y).
∵ 正态分布 N ( μ , σ 2 ) 的方差为 σ 2 ，均匀分布 U ( a , b ) 的方差为 ( b ? a ) 2 12 \because 正态分布N(\mu,\sigma^2)的方差为\sigma^2，均匀分布U(a,b)的方差为\LARGE\frac{(b-a)^2}{12} ∵正态分布N(μ,σ2)的方差为σ2，均匀分布U(a,b)的方差为12(b?a)2?
∴ X 的方差为 4 ， Y 的方差为 4 3 \therefore X的方差为4，Y的方差为\LARGE\frac{4}{3} ∴X的方差为4，Y的方差为34?
V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) = 16 3 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=\LARGE\frac{16}{3} Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=316?
V a r ( 2 X ? 3 Y ) = V a r ( 2 X ) + V a r ( 3 Y ) = 4 V a r ( X ) + 9 V a r ( Y ) = 16 + 12 = 28 Var(2X-3Y)=Var(2X)+Var(3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=16+12=28 Var(2X?3Y)=Var(2X)+Var(3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=16+12=28