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开宗明义|最具独创精神的数学家——黎曼

最具独创精神的数学家——黎曼
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少年数学天才
1826年9月17日，在德国汉诺威的布列斯伦茨，黎曼（1826-1866）出生在一个乡下牧
师之家，是6个孩子中的次子。
黎曼从小酷爱数学。他6岁时开始学习算术，并显现出他的数学天才。他不仅能解决所
有留给他的数学问题，而且还经常提一些问题来捉弄他的兄弟姐妹。10岁时他跟一位职业
教师学习高级算数和几何，很快便超过了老师，常常对一些问题能做出更好的答案。
黎曼14岁时到汉诺威市上中学。由于经济拮据，他总是靠步行奔波于汉诺威市与乡间
小村庄之间。当然他更没钱去买参考书。幸运的是中学校长及时地发现了他的数学才能，
考虑到他经济上的困难，校长特许黎曼可以从自己私人藏书室里借阅数学书籍。在校长的
推荐下，黎曼借了一部数学家勒让德的《数论》，这是一部共859页的4大本的名著。黎曼
十分珍惜这种读书机会，他如饥似渴地自学起来，6天之后，黎曼便学完并归还了这本书。
校长问他：“你读了多少？”黎曼说：“这是一本了不起的书，我已经掌握了它。”几个
月之后，校长就这本书的内容考他。黎曼对答如流，并且回答得很全面。利用校长的藏书
，黎曼还抓紧时间很快地自学了大数学家欧拉的著作，由此掌握了微积分及其分支。黎曼
【开宗明义|最具独创精神的数学家——黎曼】不仅从欧拉的著作中学到了数学知识，还学到了欧拉研究数学的技巧。
大学生涯
19岁时，黎曼进入格丁根大学学习，为了在经济上帮助家庭以尽快找到一个有报酬的
工作，他先攻读哲学和神学，但是，除了这两门课程以外，他也去听数学、物理学课程。
他听了斯特恩关于方程论和定积分、高斯关于最小二乘法以及戈尔德斯米特关于地磁学的
数学讲座，对数学专业产生了难以割舍的兴趣。
黎曼向父亲讲述了这一切，请求允许自己改学数学专业。父亲由衷地同意了他的请求
。黎曼极为高兴，并深深地感激父亲。
1847年，为了师从更多的大师，黎曼转学到柏林大学，就学于大数学家雅可比、狄利
克雷、斯泰纳和艾森斯坦门下。他从雅可比那里学到高等力学和高等代数，从狄利克雷那
里学到数论和分析学，从斯泰纳那里学到现代几何，从文森斯坦那里学到椭圆函数论。

在此期间，他极为勤奋，甚至放假期间也不休息。1847年秋假，黎曼找到几份巴黎科
学院《院刊》，上面载有数学家柯西新发表的关于单复变量解析函数的论文，他一眼便看
出这是一种新数学理论，于是一连几个星期闭门不出，潜心研究柯西的论文，并酝酿出他
在这个专题上的新见解，为4年后撰写博士论文“单复变量函数的一般理论的基础”奠定了
基础。
黎曼不仅认真研读大师的学术专著，而且虚心地向大师求教。有一次，狄利克雷来格
丁根度假，黎曼趁此机会向他求教数学问题，并将自己未定稿论文交给他，请他提意见。
狄利克雷被黎曼的谦虚、真诚和天才迷住了。他与黎曼长谈了两个小时，给黎曼的论文提
了不少意见，给黎曼正在研究的课题作了许多指点。黎曼深感受益匪浅，他说没有狄利克
雷的指点，他将不得不在图书馆里做好几天的吃力研究。
生活虽然清贫，但学习极为勤勉，这使得黎曼在大学毕业时获得了丰硕的成果。1851
年底，黎曼将其博士论文呈交给大数学家高斯审阅。高斯在看了论文之后兴奋不已，对黎
曼的论文作出了高度评价，这对高斯来说是罕见的。高斯评语道：“黎曼先生交来的论文
提供了令人信服的证据，说明作者对该文所论述的这一问题作了全面深入的研究，说明作
者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，具有灿烂丰富的创造力。”
贫困中奋进
1852年初，黎曼凭借优异的学术表现取得了博士学位，并留在了格丁根大学。十九世
纪中叶的德国，科学几乎与国家的经济全然无关。大学的设立仅在训练律师、医师、教师
和传教士士，以及提供贵族子弟和富家子弟渡过引人侧目及受尊敬的岁月的场所。只有正
教授才可以领政府的津贴，并且可教授正规标准课程，这些课程都是一些基础科目，上课
的學生多，因此教授收到的学费也就多了，这就是为什么当时课程水准低落的原因，因为
如果课程太难，就沒有办法收到许多学生，从而影响到教授们的收入，毕竟贵族子弟和富
家子弟上大学的目的并非真心向学。讲师们则没有政府津贴並且轮不到教基本正规课程的
机会，全然靠来听课的学生的学费维生，通常，听课的学生不会多，因此收入也就相当微
薄，生活非常困苦。担任讲师是成为正教授的必经途径。但是却没有明文规定什么时候能
將一位讲师升等为教授，为了照顾特別值得重视的学者而却沒有正教授的空缺時，政府可
任命他为“客座教授”，使他具有教基本正规课程的資格，增多他的收入，但是这个任命
附有条件，言明政府不付任何津貼。因此，在担任讲师期间，黎曼没有任何自主的生活费
来源，生活依旧贫穷。
但黎曼不顾生活上的贫困，仍然把全部精力投向数学。他认为只要能够勉强维持生活
，能够让他研究数学，他就心满意足了。他从不因经济上的拈据而感到沮丧。他一方面积
极准备“无薪讲师”的就职演讲论文，另一方面认真从事数学物理方面的研究工作。他的
就职论文具有相当的难度。当初为了确定论文的选题，他向高斯提交了3个题目，以便让高
斯在其中选定一个。其中第3个题目是涉及几何基础的，这个题目黎曼当时并没有多少案头
准备工作，因此黎曼从心底里希望高斯不要选中它。可是，高斯对第3个题目却深有研究，
他已思考这个问题达60年之久。出于想看看黎曼对这个深奥的问题会做些什么样的创造性
工作，高斯指定第3个题目作为黎曼就职演讲论文的题目。
事后，黎曼在向父亲谈起这件事时说，“所以我又处在绝境中了”、“我不得不做出
这个题目”。
对数学物理研究，黎曼也具有无限的热情，他当时曾对人说：“我对于把一切与物理
规律结合起来的数学研究非常入迷。”“我通过对电、光、磁等之间联系的总研究，发现
了对这个现象的解释。这件事对我很重要，因为这是我第一次能够把我的工作应用到未知
的现象上。”这两项研究在当时都是高水平的，因而也是极困难的。黎曼不顾生活清贫、
营养不良，超负荷地忘我工作，长时期过四度而紧张地思索，以致他常常体力衰竭，甚至
病倒。一旦身体稍有复原，他又继续研究。功夫不负有心人。1854年6月10日，黎曼以“关
于构成几何基础的假设”论文作了就职演讲，受到了与会数学家们的认可和好评。高斯听
完之后大为惊异，感到这个年轻人处理这个难题非常之好，他赞不绝口。黎曼的这篇论文
被人们认为是19世纪数学史上的杰作之一。
1855年格丁根大学开始给黎曼发薪金，但相当的低。一年仅相当于200美元。这一年黎
曼29岁，他家里遭到巨大的不幸，父亲和一个妹妹相继去世，原来依靠父亲生活的3个妹妹
失去了生活来源。于是黎曼和他的哥哥两人挑起了照顾3个妹妹生活的担子。黎曼时时为一
家人的生活感到焦虑。1857年黎曼一年的薪金被加到相当于300美元的水平。由于收入不多
，又要照顾3个妹妹，生活担子重，黎曼连自己的婚姻大事都不敢考虑。然而就在这一年，
不幸又从天而降，黎曼的哥哥又去世了。这对黎曼来说如同雪上加霜，照料3个妹妹生活的
担子全部落在他一人的肩上。从1855年到1859年这5年中，经济拮据、生活清贫一直困绕着
黎曼，有时一家甚至陷入对口粮都需要算计的地步。就是在这种情况下，黎曼仍不顾物质
生活的贫乏，全身心地投入到数学研究工作之中，在科学的崎岖小道上艰苦奋斗，并获得
了令人惊异的成就。他在数学上的许多重要成果都是在这个时期内完成的。他对阿贝尔积
分和阿贝尔函数的研究，开创了现代代数几何；他首创用复解析函数研究数论问题，开创
了现代意义的解析数论；他对超几何级数的研究，推动了数学物理和微分方程理论的发展
。随着研究成果的问世，黎曼在数学界的学术声望迅速提高。他受到许多世界著名数学家
的赞扬，获得了一个科学家通常可能得到的最高荣誉。
大师之死
1859年黎曼33岁时，高斯去世。他被任命为格丁根大学正教授，成为继狄利克雷之后
高斯的第二个继任者。这时黎曼的生活才开始得到改善，才开始考虑个人的婚姻问题，并
在36岁时与朋友的妹妹结了婚。一年后，他的女儿出生在比萨。
但是，长时期清贫的生活、过度的操劳、发奋的研究，使得黎曼身体虚弱、精力衰竭
。1862年黎曼患了胸膜炎，不久又患了肺病，一年后又患了黄疽病。在病魔缠身之际，只
要有一些力气，黎曼仍坚持数学研究工作。虽然这个时期黎曼积极就医和疗养，但因病入
膏盲终无疗效。1866年7月20日，黎曼那颗纯洁、高尚的心停止了跳动。他过早地离开了人
世，也过早地离开了数学，终年仅40岁。
黎曼是数学史上最具独创性精神的数学家之一，他在众多的数学领域里作出了许多奠
基性和创造性的研究工作：他从几何方向开创了复变函数论；是现代意义的解析数论的奠
基者；他亲手建立了黎曼几何，是组合拓扑学的开拓者。他对微积分的严格处理作出了重
要贡献；在数学物理和微分方程等领域内也成果丰硕。1859年，黎曼被选为柏林科学院通
讯院士，1866年他被选为法国巴黎科学院通讯院士和英国皇家学会国外会员。
黎曼的英年早逝是德国数学界乃至全世界数学界的遗憾！但是他所留給数学界的，在
他少量的已出版的论文集中，已有太多的丰富的概念，至今还未被后世数学家研究殆尽。

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