noip2005|noip2005 一维采药---恰（背包dp） noip2005一维采药---恰（背包dp）

采药描述辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子，他的梦想是称为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。输出输出只包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。样例输入

70 3 71 100 69 1 1 2

样例输出

3

讲解：对于一个程序，追求的是高效与简洁，所以优化是必须的。我对于一个程序的优化思路一般是这样：算法、空间与时间、细节。所谓算法，自然是想一下有什么比当前更好地解题方法，这是在写程序之前就应当解决的问题，当然不排除你在写好程序后灵感迸发，想到更好的解题方法。空间：比如这道题，在上一篇《二维采药---恰》中，v[maxn1]、w[maxn1]这两个数组就可以去掉，二维的f数组也可以变成一维。对空间的优化，一般的思考方向都是先想一想自己的程序在运行中有哪些空间被浪费掉了，然后尽量减少被浪费的空间。在二维采药中，我们可以发现，第i层的值仅与第i-1层的值相关，也就是说，我们求出第i层的值后，第i-1层就再也不会被用到，i-1占用的空间就浪费了。从这方面入手，也就诞生了一维采药，具体的下文再讲。时间：时间上的优化一般都是递归转非递归、减少循环量、改良算法等方面入手。技巧：比如手写读入进行优化、内联函数inline、位运算等等，主要是一些细节的地方，这要看个人的代码功力如何了。同样的一道题，同样的一个算法，不同的人写出来的程序效率有高有低，差距也主要体现在这些方面。
现在我们来讲下如何如何把二维采药优化成一维采药。首先，我们的这样想，当我们求解第i层的数据时，只要保证第i-1层的数据不丢失就可以了也就是说我们只要能够保存两层的数据就可以了。一种方法是用循环数组的方式，定义数组：f[2][maxn2]，当枚举到第i个物品时，第i层的数据放在数组f[i%2][maxn2]里面。比如i==1时，数据放在数组f[1][maxn2]里面；i==2时，i%2==0，数据放在f[0][maxn2]里面，而f[1][maxn2]自然就成为上一层的数据。这个对空间的优化是相当显著地，把f[maxn1][maxn2]直接变成了f[2][maxn2]。但这还不是最理想的，我们可以直接把f[maxn1][maxn2]变成f[maxn2]。我们用f[j]表示时间恰为 j 时，所能取得的最优值。当我们枚举到i，假设此时正在求解f[6]，我们需要用带到上一层的f[3]的值。如果是顺序枚举的话，那么第i-1层的f[3]的值很可能已经被第i层的f[3]的值所覆盖了。但如果是倒序枚举呢？我们在求解f[6]时，f[7]、f[8]。。。f[t]都处理过了，而f[1]到f[5]还是没有处理过的，他们此时的值就是i-1层的值，还没有被第i层的数据所覆盖。那么求f[6]时，需要用到的i-1层f[3]的值就被完美的保存下来了。通过上面的讲解，已经得到我们所要的了，一维背包的关键就是倒序枚举。循环数组的程序演示：

#include #include #define maxn (1000+10) using namespace std; int t,m,f[2][maxn]; void work() { int i,j,v,w,ans; scanf("%d%d",&t,&m); f[0][0]=1; for(i=1; i<=m; i++) for(scanf("%d%d",&v,&w),j=0; j<=t; j++) if(j>=v && f[(i+1)%2][j-v])f[i%2][j]=max(f[(i+1)%2][j],f[(i+1)%2][j-v]+w); else f[i%2][j]=f[(i+1)%2][j]; for(ans=0,i=0; i<=t; i++)ans=max(ans,f[m%2][i]); printf("%d\n",ans-1); }int main() { work(); return 0; }

一维背包程序演示：

#include #include #define maxn (1000+10) using namespace std; int t,m,f[maxn]; void work() { int i,j,v,w,ans; scanf("%d%d",&t,&m); f[0]=1; for(i=1; i<=m; i++) for(scanf("%d%d",&v,&w),j=t; j>=v; j--) if(f[j-v])f[j]=max(f[j],f[j-v]+w); for(ans=0,j=0; j<=t; j++)ans=max(ans,f[j]); printf("%d\n",ans-1); }int main() { work(); return 0; }