数学建模学习笔记数学基础

该笔记主要记录自己在学习《数学建模》 Frank R. Giordano过程中的一些心得。数学建模是通过观察一个问题，然后做出假设和收集数据，提出模型，测试假设，验证模型的一个过程。有些问题可以通过很简单的数学建模来体现，然而有些问题却非常复杂，针对复杂问题的建模过程可以是循序渐进的，一开始，可以建立一个比较粗糙的模型，在这个粗糙模型的基础上进行进一步的细化。
第一章：对变化进行建模：
开始我们通过几个简单的实例来解释数学建模其实并不是遥不可及的，其实很多时候我们已经在应用它了。

储蓄问题：计算存储在银行的资金，以复利的方式存储n年以后的总金额。
酵母菌生长的过程
接触性传染病的传播
药物在血液里的衰减
冷体动物的加热过程

上面提及的内容，都可以通过简单的缠粉方程的方法来近似解决。如果知道了初始值，以及每次的变化量，我们可以通过不断迭代的方法预测将来的变化。我们可以统称这类问题为动力系统问题。在搭建其数学模型之后，有些问题是最终的结果是趋于一个稳定的值，然而有些问题却出现很大的震荡。动力系统的最终结果与初始值也有很大的关系。
第二章建模过程，比例性和几何相似性
粗略的建模过程：

通过观察，识别有关实际行为的主要因素，可能要做简化
猜测因素之间暂时的关系
将数学分析用于所得到的模型中
借助实际问题来解释数学的结论

模型的构建

识别问题
做出假设 a. 变量分类确定因变量和自变量 b 确定研究中所选择的变量之间的相互关系
求解或解释模型
验证模型
实施模型
维修模型

例子：车辆的停止距离
总的停止距离=反应距离+刹车距离
反应距离=f（反应时间，速率）
刹车距离=F（重量，速率）
利用比例性进行建模：例如反应距离=反应时间×速度
利用几何相似性进行建模：1.雨滴的速度，可以假设雨滴都是几何相似的。阻力=kv^2，为什么是速度的平方，可以简单的认为阻力是由于物体与分子之间的碰撞产生的，速度越快，单位时间内碰撞的分子数越多，同时单个分子之间损失的能量与速度成正比，因此是平方的关系。
2. 鱼的质量和长度的关系；然而如果只考虑鱼的长短，而没有考虑鱼的肥瘦，该模型会有偏差，因此可以考虑鱼的长度和鱼的腰围。
3. 汽车里程和汽油消耗的关系。
4. 身高和体重之间的关系
5. 灵活性和力量之间的关系
第三章模型拟合
假设我们建立了一个模型出来，模型拟合主要目的是得到模型中的一些系数。然而拟合的好坏需要一个标准来衡量。
数据拟合的几个常用准则：
Chebyshew近似准则：在数据区间内，两个函数之间的最大差异最小
极小化绝对偏差之和
最小二乘法准则
第四章实验建模
如果建模者不能够构造出满意的解释已知状况的数学模型，可以进行实验，基于收集到的数据构造一个经验模型。这种情况下得到的模型受到数据的影响很大。（类似于核测井中的刻度模板）
变换阶梯：logy squrt(y) 1/y
单项模型：y=ax+b
高阶多项式模型：lagrange interpolation
高阶多项式的优缺点：在区间端点出会出现严重的摆动。同时高阶多项式的系数对数据微小的变化十分敏感。
低阶多项式模型：决定插值多项式的阶；根据某一准则确定最佳的拟合系数。（例如对10个数据点进行二次多项式拟合，采用最小二乘法准则确定系数）；可以采用均差表的方法来确定插值多项式的阶数。
三阶样条插值：在连续的数据点对间使用不同的三阶多项式，追踪数据的趋势，即能保证基本关系的特征，同时减少摆动的倾向和数据变化的灵敏性。自然样条（端点处导数为0）,；强制样条（端点处导数为一个固定值）
【数学建模学习笔记】构造经验模型时，开始需要考察数据，需要很好的搜索考察可疑的数据点，看看是抛弃还是重新获取。首先研究简单的单项模型，变换将数据编程一直线，变换的过程可以通过数据可视化来确定。如果单项模型不适合，可以考虑多项式，当数据量较小时，可以尝试多项式拟合，然而当数据量多大时，考虑低阶多项式来光滑数据或者采用样条法。
第五章模拟方法建模
电梯高峰时间段的停靠问题，可以采用蒙特卡洛方法来模拟
随机数的生成：
平方取中法
线性同余法
模拟实例：港口船只卸货等待时间
电梯早高峰模拟
第六章离散概率模型
马尔科夫链
部件和可靠性建模：串联系统，并联系统
线性回归：
对模型的统计学分析：
误差平方和 SSE 拟合结果与实际结果的误差
修正的总平方和SST 数据点与平均值之间的差别
回归平方和 SSR=SST-SSE
R2=1-SSE/SST
残差：通过观察残差的模式，可以给出建模的方向
第七章离散优化建模
目标函数
决策变量
subject to 约束
常见的优化问题分类：
无约束问题，
线性规划
无约束离散优化问题
整数规划
多目标规划
动态规划
线性规划问题的求解：

几何解法：对于一些简单的约束，可以通过画图的方法来实现。例如：绝对偏差最小，可以让每一个点都带入方程，产生一个约束条件，然后画图找到最佳点。

空可行域：
无界可行域：max x1+x2
可行域无界，最优解依然可能存在。可行域有界比不是存在最优解的必要条件。
目标函数水平线。
定理：假设线性规划的可行域是非空邮界凸集，则目标函数一定会在可行域的极点上取到最大值和最小值。如果可行域无界，目标函数不一定能够取到最优值；然而，如果最大值和最小值确实存在，则一定也会在某个极点上取到。

代数解法
单纯形法
敏感性分析
数值搜索法，采用二分法，黄金分割法

第八章量纲分析和相似性
采用量纲可以帮忙分析一下问题可能的关系
相似性，对于一些难以实现的实验，可以利用相似性来进行实验，例如风洞实验等
第九章函数图表构成模型（pass）
第十章用微分方程建模
差分方程
微分方程
变量分离求解
利用数值解法近似
第十一章微分方程组
第十二章连续优化建模
1.已知方程，求导数，找极值
2. 采用梯度上升的方法
连续约束化 lagrange乘子法 https://www.cnblogs.com/mo-wang/p/4775548.html
要点：构造的新的方程，假设在相切的地方，目标函数和约束方程梯度方向相同。（大小不一定相同 https://www.jiqizhixin.com/articles/2019-02-12-10）
KKT 条件理解 https://blog.csdn.net/johnnyconstantine/article/details/46335763