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论文题目：《node2vec Scalable Feature Learning for Network》
发表时间：KDD 2016
论文作者：Aditya Grover; Aditya Grover; Jure Leskovec
论文地址：Download
Github：Go

概述 node2vec is an algorithmic framework for representational learning on graphs. Given any graph, it can learn continuous feature representations for the nodes, which can then be used for various downstream machine learning tasks.
1. Introduction 先介绍了复杂网络面对的几种任务，一种是node classifification task，预测网络中node最可能的标签。另一种是Link prediction，就是预测网络中哪些顶点有潜在的关联。要解决上述问题通常得先解决 NE 的问题，先前基于专家系统的hand-engineering存在着诸多的问题。一种取而代之的方法就是通过优化目标函数来学习网络的表示特征，但是却存在计算效率和准确度平衡的问题。传统的降维方法存在诸多的问题，一般是指基于矩阵分解的方法，这种方法对于large graph 是不适用的（Adjacency matrix），运算量大，且准确率不高，同时只使用于特定的任务。本文举例说明：

homophily：在同质性假设下，高度连接且属于相似网络集群或社区的节点应该紧密地嵌入在一起。(例如，图1中的节点 $s_1$ 和 $u$ 属于同一个网络社区)
structural equivalence：在结构等价假设下，在网络中具有相似结构角色的节点应该紧密地嵌入在一起。(例如，图1中的节点 $u$ 和 $s_6$ 作为它们相应社区的枢纽)。

如下图，$u, s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}$就属于一个社区，而$u, s_{6}$在结构上有着相似的特征。

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NE 设计理念：

- 同一个社区内的节点表示相似。
- 拥有类似结构特征的节点表示相似。

2. Related work 介绍传统方法的不足，以及本文采用的自然语言处理方法的介绍。
3. Feature learning framework Definitions： $G=(V,E)$is a network,which can be a (un)directed, (un)weighted network. $f: V \rightarrow \mathbb{R}^{d}$be the mapping function. $f$is a matrix of size$|V| \times d$parameters. $N_{S}(u) \subset V$ is the neighborhoodof$u \in V $,through a neighborhood sampling strategyS . objective function:
$\underset{f}{max} \quad\sum \limits _{u \in V} \log \operatorname{Pr}\left(N_{S}(u) \mid f(u)\right)\quad\quad \quad \quad (1)$
2个假设

- Conditional independence：领域内节点独立。

$\operatorname{Pr}\left(N_{S}(u) \mid f(u)\right)=\prod \limits _{n_{i} \in N_{S}(u)} \operatorname{Pr}\left(n_{i} \mid f(u)\right)$

- Symmetry in feature space：点间的影响的一样的，即：a 对 b 的影响和 b 对 a 的影响一样。

${\large \operatorname{Pr}\left(n_{i} \mid f(u)\right)=\frac{\exp \left(f\left(n_{i}\right) \cdot f(u)\right)}{\sum_{v \in V} \exp (f(v) \cdot f(u))}} $
总结上述两个假设得：
$\max _{f} \sum \limits_{u \in V}\left[-\log Z_{u}+\sum\limits_{n_{i} \in N_{S}(u)} f\left(n_{i}\right) \cdot f(u)\right]$
其中 $Z_{u}=\sum \limits _{v \in V} \exp (f(u) \cdot f(v))$ 。
推导过程：
${\large \begin{array}{l}\underset{f}{max}\sum \limits _{u \in V} \log P_{r}\left(N_{s}(u) \mid f(u)\right)\\\left.=\underset{f}{max}\sum \limits _{u \in V} \log \prod \limits_{n_{i} \in N_{s}(u)} P_{r}\left(n_{i}\right) f(u)\right)\\=\underset{f}{max} \sum \limits_{u \in V} \sum \limits_{n_{i} \in N_{s}(u)} \log \frac{\operatorname{exp}\left(f\left(n_{i}\right) \cdot f(u)\right)}{\sum \limits_{V \in V} \exp (f(v) \cdot f(u))}\\=\underset{f}{max} \left[-\sum \limits_{n_{i} \in N_{s}(u)} \log Z_{u}+\sum \limits_{n_{i} \in N_{s}(u)} f\left(n_{i}\right) f(u)\right]\\=\underset{f}{max} \left[-\left|N_{s}(u)\right| \log Z_{u}+\sum \limits_{n_{i} \in N_{s}(u)} f\left(n_{i}\right) f(u)\right]\end{array}} $
推导过程中常数 $\left|N_{s}(u)\right|$ 忽略掉了，可能是因为这边采用了负采样策略，和邻居节点没有关系。
邻域 $N_{s}(u)$并不局限于近邻，但根据采样策略S，可以有很大不同的结构。
3.1 Classic search strategies 邻域 $N_{s}(u)$的大小固定为 $k$ ，使用不同的采样策略。这里提出两种采样策略：BFS and DFS。
DFS：邻域被限制为源的近邻节点。
在 Figure 1 中，假设 $k=3$，则在 $u$ 的附近采样 node $s_{1}, s_{2}, s_{3}$。
BFS：邻域由距离源节点的距离顺序采样的节点组成。
在 Figure 1 中，假设 $k=3$，则在 $u$ 的某路径上采样 node $s_{4}, s_{5}, s_{6}$。
3.2 node2vec 基于上述观察结果，我们设计了一种灵活的邻域采样策略，使我们能够平滑地在 BFS 和 DFS 之间进行插值。我们通过开发一种灵活的 biased random walk 来实现这一点，该程序可以以 BFS 和 DFS 的方式探索社区。
3.2.1 Random Walks
形式上，给定一个源节点$u$ ，我们模拟一个固定长度为$l$的随机游动。设$c_i$表示行走中的第$i$个节点，以$c_0=u$开始。节点$c_i$由以下分布方式生成：
$P\left(c_{i}=x \mid c_{i-1}=v\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\pi_{v x}}{Z} & \text { if }(v, x) \in E \\0 & \text { otherwise } \end{array}\right.$
其中$\pi_{v x}$为节点$v$和节点$x$之间的非归一化转移概率，$Z$为归一化常数。
3.2.2 Search bias α
最简单的方法：$\pi_{v x}=w_{v x}$，对于无权图设置$w_{v x} = 1$，对于有权图$\pi_{v x}=w_{v x}$。
我们定义了一个具有两个参数$p$和$q$的二阶随机游走：
对于一个随机游走，如果已经采样了$(t,v)$，即现在停留在节点$v$上，那么下一个要采样的节点$x$是？作者定义了一个概率分布，也就是一个节点到它的不同邻居的转移概率：
$\pi_{v x}=\alpha_{p q}(t, x) \cdot w_{v x}$
其中：
$\alpha_{p q}(t, x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{p} & \text { if } d_{t x}=0 \\1 & \text { if } d_{t x}=1 \\\frac{1}{q} & \text { if } d_{t x}=2\end{array}\right.$
这里，$d_{tx}$表示节点$t$和节点$x$之间的最短路径距离。
$\alpha_{p q}(t, x)$ 解释如下：

- 如果$t$与$x$相等，那么采样$x$的概率为 $\frac{1}{p} $ ；
- 如果$\mathrm{t}$与$\mathrm{x}$相连，那么采样 $\mathrm{x}$的概率 $1$ ;
- 如果$t$与$x$不相连，那么采样$x$概率为 $\frac{1}{q} $。

参数 $p、q $ 的意义分别如下：
Return parameter p：

- 如果 $p>max(q,1)$，那么采样会尽量不往回走，对应上图的情况，就是下一个节点不太可能是上一个访问的节点$t$。
- 如果 $p

In-out parameter q：

- 如果$q>1$ ，那么游走会倾向于在起始点周围的节点之间跑，可以反映出一个节点的 BFS 特性。
- 如果$q<1$ ，那么游走会倾向于往远处跑，反映出 DFS 特性。

当$p=1，q=1$时，游走方式就等同于DeepWalk中的随机游走。
Benefifits of random walks：

- 存储图中每个节点的近邻的空间复杂度为$O(|E|)$ 。对于二阶随机游走，存储每个节点的邻居之间的互连是有帮助的，导致空间复杂度为 $O(a^2|V|)$，其中$a$是图的平均度，对于现实世界的网络来说通常很小。
- 与经典的基于搜索的采样策略相比，随机游走的另一个关键优势是其时间复杂度。通过在样本生成过程中施加图的连通性，跨不同源节点重用采样来提高有效采样率。因此，我们的有效复杂度是每个样本的$O\left(\frac{l}{k(l-k)}\right)$。请注意，样本重用可能会在整个过程中引入一些偏差。然而，我们观察到，它极大地提高了效率。
  - 举例：一个长度 $k=6$ 的随机游走序列 $\left\{u, s_{4}, s_{5}, s_{6}, s_{8}, s_{9}\right\}$ ，为每个节点生成邻居信息，$N_{S}(u)=\left\{s_{4}, s_{5}, s_{6}\right\}$,$N_{S}\left(s_{4}\right)=\left\{s_{5}, s_{6}, s_{8}\right\}$ ,$N_{S}\left(s_{5}\right)=\left\{s_{6}, s_{8}, s_{9}\right\}$

3.2.3 The node2vec algorithm

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算法参数：graph$G$、dimension $d$、Walks per node$r$，Walk length$l$，Context size $k$ ，Return$p$、In-out $q$ 。

1. 根据 $p、q$ 以及权重参数计算节点到它邻居的转移概率；
2. 将转移概率加到graph$G$中形成$G'$。
3. $walks$ 用来存储随机游走路径，初始化时为空。
4. 外循环 $r$次表示每个节点作为初始节点要生成$r$个随机游走。
5. 然后对图中每个节点。
6. 生成一条随机游走$walk$ 。
7. 将$walk $添加到$walks$中保存。
8. 然后用$SGD$的方法对$walks$进行训练。

Step 6 中一条 $walk$ 的生成方式如下：

1. 将初始节点 $u$ 添加进去。
2. $walk$ 的长度为 $l$，因此还要再循环添加 $l-1$个节点。
3. 当前节点设为 $walk$ 最后添加的节点。
4. 找出当前节点的所有邻居节点。
5. 根据转移概率采样选择某个邻居 $s$。
6. 将该邻居添加到 $walk$ 中。

3.3 Learning edge features 我们通常对涉及节点对而不是单个节点的预测任务感兴趣，即link prediction 。这里定义一个$g(u,v)$使用$f(u)$和$f(v)$来代表边的特征向量。

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4. EXPERIMENTS 4.1 Case Study: Les Misérables network

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Figure 3（top）显示了当设置$p=1，q=0.5$时的示例。不同网络社区使用不相同的颜色着色。在这个设置中，node2vec 发现了在小说的主要子情节中经常相互作用的角色集群/社区。由于字符之间的边缘是基于共现的，我们可以得出这一表征与同质性密切相关的结论。
为发现哪些节点具有相同的结构角色，我们使用相同的网络，但设置了 $p=1，q=2$，使用node2vec 获得节点特征，然后根据所获得的特征对节点进行聚类。在这里，node2vec获得了一个节点对簇的互补分配，这样颜色就对应于结构的等价性，如 Figure 3（bottom）所示。例如， node2vec 将蓝色的节点嵌入在一起。这些节点代表了小说中不同子情节之间的桥梁。类似地，黄色节点主要代表位于外围且交互作用有限的字符。我们可以为这些节点集群分配替代的语义解释，但关键的结论是，node2vec并不与特定的等价概念绑定。正如我们通过实验所表明的，这些等价的概念通常在大多数现实世界的网络中表现出来，并对预测任务的学习表示的性能有重大影响。
4.2 Experimental setup 我们的实验评估了通过node2vec在标准监督学习任务上获得的特征表示：multilabel classification for nodes and link prediction for edges。对于这两项任务，我们根据以下特征学习算法来评估node2vec的性能：

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具体来说，我们设置了$d=128 , r=10,l=80,k=10$，并在一个 epoch 中进行优化。我们使用 10 个随机种子初始化重复实验。对 10%标记数据进行$ p、q∈{0.25、0.50、1、2、4}$网格搜索的 10-fold cross-validation ，学习最佳$p$和$q$。
Node feature representations 被输入到一个L2 regularization 的one-vs-rest logistic regression classifier 上。我们使用 $Macro-F1 scores$ 作为评价标准。
对于更多的 fine-grained analysis，我们还比较了性能，同时将 $train-test split$ 从$10%$改变到$90%$，学习参数$p$和$q$在$10%$的数据进行分析。在 Figure 4 中总结了Micro-F1和Macro-F1score的结果。

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4.4 Parameter sensitivity node2vec算法涉及许多参数，在 Figure 5a 中，我们使用标签数据和未标签数据之间的不同参数选择如何影响博客目录数据集上的node2vec的性能。除要测试的参数外，所有其他参数都假设为默认值。

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4.5 Perturbation Analysis 在第一种情况下，我们研究missing edges比列对性能的影响（相对于完整的网络）。缺失边是随机选择的，受网络中连接组件数量保持固定的约束。如图我们可以在Figure 5 b（top）中看到，随着缺边比列的增加，Macro-F1 分数大致呈线性下降，斜率较小。在图随着时间的推移而演化（例如引文网络）或网络构建昂贵（例如生物网络）时，对网络中缺失边缘的鲁棒性尤为重要。
在第二个扰动设置中，我们在网络中随机选择的节点对之间有噪声的边。如 Figure 5 b（bottom）所示，与missing edges的设置相比，node2vec的性能最初下降的速度略快，但Macro-F1评分的下降速度随着时间的推移逐渐减慢。同样，node2vec对false edges的鲁棒性在一些情况下是有用的，如传感器网络，用于构建网络的测量值是有噪声的。
4.6 Scalability 为了测试可伸缩性，我们使用node2vec学习节点表示，并使用Erdo-Renyi Graph 的默认参数，Node 数量从 100 个节点增加到1000,000个节点，平均度设置为10 不变。实验如下：

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采样过程包括计算随机游走的transition probabilities（可忽略的小）和模拟随机游走的预处理。
4.7 Link prediction 在链路预测中，我们给出了一个去掉一定比例边的网络，并且我们想预测这些缺失的边。
We generate the labeled dataset of edges as follows: To obtain positive examples, we remove 50% of edges chosen randomly from the network while ensuring that the residual network obtained after the edge removals is connected, and to generate negative examples, we randomly sample an equal number of node pairs from the network which have no edge connecting them.
我们所考虑的分数是根据构成这对节点的节点的邻域集来定义的（Table 3）。